Fiktiivinen aluemenetelmä

Fiktiivinen aluemenetelmä on menetelmä matemaattisen fysiikan ongelmien likimääräiseen ratkaisemiseen geometrisesti monimutkaisilla aloilla, joka perustuu siirtymiseen geometrisesti yksinkertaisemman (yleensä moniulotteisen suuntaissärmiön ) ongelmaan, joka sisältää kokonaan alkuperäisen. [1] Tämän menetelmän etuna on se, että on helppo koota universaaleja ohjelmia laajan luokan matemaattisen fysiikan raja-arvoongelmien numeeriseen ratkaisuun, joka ei enää ole riippuvainen tarkasteltavan alueen tietystä tyypistä. [2] Tämän menetelmän haittana on likimääräisen ratkaisun alhainen tarkkuus [3] sekä erokaavioiden luomisen ja tehtävien numeerisen ratkaisun monimutkaisuus. [2]

Esimerkki

Harkitse ongelmaa löytää tuntematon funktio differentiaaliyhtälön perusteella:

rajaehdoilla:

Voit ratkaista ongelman harkitsemalla kuvitteellista aluetta . Merkitään likimääräisenä ongelman ratkaisuna kuvitteellisella alueella. Tässä pieni parametri.

Ratkaisun muunnelma, joka jatkuu suurimmilla kertoimilla

Tässä tapauksessa onko differentiaaliyhtälön ratkaisu:

Askelkerroin lasketaan seuraavasti:

Edustamme yhtälön (2) oikeaa puolta seuraavasti:

Yhtälön (2) reunaehdot:

Jos sinun on asetettava "linkittämisen" ehdot:

jossa symboli tarkoittaa "rakoa":

Ongelman ratkaisulla on muoto:

Vertaamalla sitä yhtälön (1) täsmälliseen ratkaisuun saadaan virhearvio:

Ratkaisun muunnelma, jossa on jatkoa alhaisimpien kertoimien suhteen

Tässä tapauksessa onko differentiaaliyhtälön ratkaisu:

Tässä yhtälössä (3) määriteltynä kerroin lasketaan seuraavasti:

Yhtälön (4) reunaehdot ovat samat kuin yhtälön (2).

Pariliitosehdot pisteessä :

Ratkaisuvirhe:

Muistiinpanot

  1. Marchuk G.I. Laskennallisen matematiikan menetelmät. - M., Nauka, 1980. - s. 130-136
  2. 1 2 Vabištševich, 1991 , s. 6.
  3. Vabishchevich, 1991 , s. 5.
  4. Vabishchevich, 1991 , s. 12-16.

Kirjallisuus