Fiktiivinen aluemenetelmä on menetelmä matemaattisen fysiikan ongelmien likimääräiseen ratkaisemiseen geometrisesti monimutkaisilla aloilla, joka perustuu siirtymiseen geometrisesti yksinkertaisemman (yleensä moniulotteisen suuntaissärmiön ) ongelmaan, joka sisältää kokonaan alkuperäisen. [1] Tämän menetelmän etuna on se, että on helppo koota universaaleja ohjelmia laajan luokan matemaattisen fysiikan raja-arvoongelmien numeeriseen ratkaisuun, joka ei enää ole riippuvainen tarkasteltavan alueen tietystä tyypistä. [2] Tämän menetelmän haittana on likimääräisen ratkaisun alhainen tarkkuus [3] sekä erokaavioiden luomisen ja tehtävien numeerisen ratkaisun monimutkaisuus. [2]
Harkitse ongelmaa löytää tuntematon funktio differentiaaliyhtälön perusteella:
rajaehdoilla:
Voit ratkaista ongelman harkitsemalla kuvitteellista aluetta . Merkitään likimääräisenä ongelman ratkaisuna kuvitteellisella alueella. Tässä pieni parametri.
Tässä tapauksessa onko differentiaaliyhtälön ratkaisu:
Askelkerroin lasketaan seuraavasti:
Edustamme yhtälön (2) oikeaa puolta seuraavasti:
Yhtälön (2) reunaehdot:
Jos sinun on asetettava "linkittämisen" ehdot:
jossa symboli tarkoittaa "rakoa":
Ongelman ratkaisulla on muoto:
Vertaamalla sitä yhtälön (1) täsmälliseen ratkaisuun saadaan virhearvio:
Tässä tapauksessa onko differentiaaliyhtälön ratkaisu:
Tässä yhtälössä (3) määriteltynä kerroin lasketaan seuraavasti:
Yhtälön (4) reunaehdot ovat samat kuin yhtälön (2).
Pariliitosehdot pisteessä :
Ratkaisuvirhe: