Moniarvoinen analyyttinen toiminto

Moniarvoinen analyyttinen funktio on moniarvoinen kompleksifunktio, joka saadaan jatkamalla analyyttisesti kaikkia polkuja pitkin.

Analyyttinen elementti on pari , jossa ( useiden muuttujien funktioille) on verkkoalue alueella ja yksiarvoinen analyyttinen funktio tässä toimialueessa. ${\näyttötyyli (F,f)}$ $F\subset {\widehat {\mathbb {C} }}$ $F\subset \mathbb {C} ^{n}$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$ $f$

Kaksi analyyttistä elementtiä ja niitä kutsutaan toistensa suoraksi analyyttiseksi jatkamiseksi toimialueen läpi, jos leikkauspiste on ei-tyhjä ja jollakin funktion leikkauspisteen yhdistetyistä komponenteista ovat yhtä suuret. ${\näyttötyyli (F,f)}$ ${\näyttötyyli (G,g)}$ $\Delta$ $F\cap G$ $\Delta \subset F\cap G$ $f$ $g$

Analyyttistä elementtiä kutsutaan elementin analyyttiseksi jatkoksi alueketjun läpi, jos elementtejä on sellainen ketju, että jokainen elementti on elementin suora analyyttinen jatkumo alueen läpi . ${\näyttötyyli (F_{n},f_{n})}$ $(F_{0},f_{0})$ ${\displaystyle \Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n))$ $(F_{1},f_{1}),\ldots ,(F_{n-1},f_{n-1})$ ${\näyttötyyli (F_{i},f_{i})}$ $(F_{i-1},f_{i-1})$ $\Delta _{i}$

Ekvivalenssisuhde voidaan määritellä elementtien välille analyyttisen jatkuvuuden käsitteen perusteella. Käsittelemme elementtiä vastaavaa elementtiä, jos se on analyyttinen jatko . On helppo todistaa, että tämä relaatio on ekvivalenssirelaatio. Tämän ekvivalenssisuhteen mukaan kaikkien analyyttisten elementtien joukko voidaan jakaa ekvivalenssiluokkiin. Näitä samoja ekvivalenssiluokkia kutsutaan täydellisiksi analyyttisiksi funktioiksi. Kirjoitetaanpa tiukka määritelmä. ${\näyttötyyli (F,f)}$ ${\näyttötyyli (G,g)}$ ${\näyttötyyli (G,g)}$ ${\näyttötyyli (F,f)}$

Kompleksisen muuttujan täydellinen analyyttinen funktio on ei-tyhjä analyyttisten elementtien joukko siten, että minkä tahansa joukon analyyttisen elementin osalta kaikki muut ovat sen analyyttistä jatkoa ja mikä tahansa elementti, joka on analyyttinen jatko , sisältyy tähän joukkoon. ${\näyttötyyli (F,f)}$ ${\näyttötyyli (F,f)}$

Analyyttisyys voidaan määritellä jollain alueella. Toimialueen analyyttinen funktio $A$ on joukko analyyttisiä elementtejä , jotka: $(F_{\alpha },f_{\alpha })$

Kaikki $F_{\alpha }\subset A$
$\bigcup _{\alpha }F_{\alpha }=A$
Minkä tahansa elementin osalta mikä tahansa muu elementti on analyyttinen jatko alueiden ketjun läpi ${\näyttötyyli (F,f)}$ ${\näyttötyyli (G,g)}$ ${\näyttötyyli (F,f)}$ $A$
Minkä tahansa elementin osalta joukkoon sisältyy mikä tahansa muu elementti , joka on analyyttinen jatko alueiden ketjun läpi . ${\näyttötyyli (F,f)}$ ${\näyttötyyli (G,g)}$ ${\näyttötyyli (F,f)}$ $A$

Tähän joukkoon sisältyvää elementtiä kutsutaan analyyttisen funktion elementiksi. Tämä määritelmä tunnistetaan moniarvoiseksi funktioksi seuraavassa merkityksessä. Analyyttisen funktion arvo pisteessä on kaikkien elementtien funktioiden arvo tässä pisteessä, joille piste sisältyy vastaavaan joukkoon. $a$ $a$