Shapiro-polynomit

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. tammikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Shapiro-polynomit ovat polynomien sarja, jonka Harold Shapiro tutki ensimmäisen kerran vuonna 1951 harkitessaan joidenkin erityisten trigonometristen summien arvoja [1] . Signaalinkäsittelyn näkökulmasta Shapiro- polynomeilla on hyvät autokorrelaatioominaisuudet [2] ja niiden arvot yksikköympyrässä ovat pieniä. Sarjan ensimmäiset jäsenet:

{\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\ P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7} \\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+xx^{2}+x^{3}\\Q_ {3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\ \...\\\end{aligned}}

jossa toista sekvenssiä Q kutsutaan komplementaariseksi ensimmäiselle sekvenssille P.

Rakennus

Shapiro-polynomit voidaan saada Rudin-Shapiro-sekvenssistä ( , jos n:n binääriesityksen osamerkkijonojen lukumäärä 11 on parillinen , ja muuten ( OEIS A020985 )). Kyllä jne. $P_{n}(z)$ $a_n$ $a_{n}=1$ $a_{n}=-1$ $a_{0}=1,a_{1}=1,a_{2}=1,a_{3}=-1$

$P_{n}$ on potenssisarjan järjestyksen osasumma $2^{n}-1$ $f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...$

Rudin-Shapiro-sekvenssillä on samanlainen rakenne kuin fraktaalilla - esimerkiksi , eli osasekvenssi on sama kuin alkuperäinen . Tämä ominaisuus johtaa merkittäviin funktionaalisiin yhtälöihin, jotka . $a_n$ $a_{n}=a_{{2n}}$ $a_{0},a_{2},a_{4},...$ $\{a_{n}\}$ $f(z)$

Muita Shapiro-polynomeja, , voidaan määrittää samalla sekvenssillä, relaatiolla tai rekursiivisilla kaavoilla: $Q_{n}(z)$ $Q_{n}(z)=(-1)^{n}z^{{2n}}P_{n}({\frac {-1}{z}})$

P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;

P_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)+z^{{2^{n}}}Q_{n}(z);

Q_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)-z^{{2^{n}}}Q_{n}(z).

Ominaisuudet

Lisäsekvenssi, joka vastaa , määräytyy yksiselitteisesti seuraavien ominaisuuksien perusteella: $Q_{n}$ $P_{n}$

Tutkinto on . $Q_{n}$ $2^{n}-1$
Kertoimet ovat yhtä suuret , kerroin nollaasteessa on yhtä suuri kuin 1. $Q_{n}$ $\pm 1$
Tasa -arvo pätee koko yksikköympyrään . $|P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{{n+1}}$ $z\in \mathbb {C} ,|z|=1$

Jakson mielenkiintoisin ominaisuus on, että yksikköympyrän arvon moduuli on rajoitettu , mikä on yhtä suuri kuin -normi . Polynomit kertoimilla, joiden maksimimoduuli yksikköympyrässä on lähellä keskimääräistä modulia, ovat hyödyllisiä erilaisissa viestintäteorian sovelluksissa (esim. antennin muoto ja tiedon pakkaus ). Ominaisuus (3) osoittaa, että (P, Q) muodostavat Golay-parin . $P_{n}$ $P_{n}(z)$ ${\sqrt {2^{{n+1)))$ $L_{2}$ $P_{n}$ $\pm 1$

Muut näiden polynomien ominaisuudet [3] :

P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});

Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});

P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};

P_{n+k+1}(z)=P_{k}(z)P_{n}(z^{2k+1})+z^{2k}Q_{k}(z)P_{ n}(-z^{2k+1});

P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^ {n})2^{\lfloor n/2\rfloor -1}.

Katso myös

Littlewoodin polynomit

Muistiinpanot

↑ John Brillhart ja L. Carlitz. Huomautus Shapiro-polynomeista // Proceedings of the American Mathematical Society : Journal . — Proceedings of the American Mathematical Society, voi. 25, ei. 1, 1970. - Toukokuu ( nide 25 , nro 1 ). - s. 114-118 . - doi : 10.2307/2036537 .
↑ Somaini, U. Binäärisekvenssit, joilla on hyvät korrelaatioominaisuudet // Electronics Letters : päiväkirja. - 1975. - 26. kesäkuuta ( osa 11 , nro 13 ). - s. 278-279 . - doi : 10.1049/el:19750211 .
↑ J. Brillhart; J. J. Lomont, P. Morton. Rudin-Shapiro-polynomien syklotomiset ominaisuudet (englanniksi) // J. Reine Angew. Matematiikka. : päiväkirja. - 1976. - Voi. 288 . - s. 37-65 .

Viitteet

Borwein, Peter B Laskennalliset retket analyysissä ja lukuteoriassa . - Springer, 2002. - ISBN 0387954449 . luku 4.