Hiekkapaalumalli on klassinen malli itseorganisoituneen kriittisyyden teoriasta, joka liittyy moniin matematiikan alueisiin.
Yksinkertaisimmassa versiossa malli on muotoiltu seuraavasti. Harkitse neliöverkkoa. Tällä ruudukolla on hiekkakasa: tämän ruudukon jokaiseen solmuun asetetaan pino, jossa on useita hiekkajyviä. Jos jossakin pinon solmussa on 4 tai useampia hiekkajyviä, kasa on epävakaa ja tapahtuu romahdus ( englanniksi toppling ): 1 hiekkarae siirtyy tästä solmusta 4 viereiseen solmuun. Törmäyksiä tapahtuu, kunnes kasa muuttuu vakaaksi , eli kunnes kussakin solmussa on jäljellä alle 4 hiekanjyvää; samaan aikaan tuloksena oleva hiekkakasa ei riipu sortumisen järjestyksessä [1] .
On luonnollista ottaa käyttöön "lisäys" -toiminto vakaan hiekkakasan joukossa: saadaksesi kahden kasan summan, sinun on asetettava kaikki hiekkajyvät vastaavasta solmusta ensimmäisestä ja toisesta kasasta jokaiseen solmuun ruudukko ja suorita sitten tarvittavat romahdukset saadaksesi jälleen vakaan kasan. Tällaisella summausoperaatiolla hiekkamäkien joukko tulee kommutatiiviseksi monoidiksi [2] . Neutraali elementti on kasa, joka, kun se lisätään mihinkään muuhun kasaan, ei muuta sitä, on tyhjä ristikko, jossa ei ole yhtään hiekkajyvää.
Hiekkapaalumallia ei tarvitse tarkastella tarkasti neliöruudukossa. Neliöruudukon sijasta voit ottaa toisen (tässä tapauksessa romahduksen ei pitäisi tapahtua 4 hiekkaraeella solmussa, vaan hiekkajyvien lukumäärällä, joka on yhtä suuri kuin naapureiden lukumäärä), esimerkiksi kolmion muotoinen . , tai yleensä erilaisia äärettömiä suuntaamattomia tai suunnattuja kuvaajia tai multigrafeja . Lisäksi lopullisen kaavion hiekkakasat voidaan myös harkita, jos jotkut sen solmut ovat nieluja ( englanniksi sink ) - niihin joutuessaan hiekkajyvät eivät kerry, vaan katoavat.
Vakaiden hiekkakasojen joukko äärellisessä graafissa (esimerkiksi äärellinen suorakaiteen muotoinen ristikko, jota ympäröi joka puolelta nielupisteet) on myös äärellinen. Äärillisessä kommutatiivisessa monoidissa voidaan erottaa tietty osajoukko (eli sen minimiideaali ) , joka on ryhmä samaan operaatioon (tässä tapauksessa keon lisäys) nähden. Tällaista ryhmää kutsutaan tietylle graafille graafin hiekkakasaryhmäksi ja siihen sisältyviä kasoja kutsutaan toistuviksi . Tämän ryhmän neutraali elementti eroaa kuitenkin yleisesti ottaen monoidin neutraalista elementistä. Lisäksi hiekkakasojen ryhmä on huomionarvoinen muun muassa siitä, että siinä oleva neutraali alkuaine näyttää täysin ei-triviaalilta ja osoittaa jopa fraktaalin piirteitä [3] .
Hiekkapaalumallin yhteydet matematiikan eri osa-alueisiin ovat syvät ja monipuoliset [1] . Sortumisalueen koko, kun satunnaiseen hiekkakasaan lisätään vielä yksi hiekkajyvä, noudattaa kriittisille ilmiöille tyypillistä potenssilakijakautumaa [4] . Voit ajatella epävakaa kasa, jossa romahtaa soluautomaattina . Hiekkakasan romahtamista voidaan kuvata käyttämällä Kirchhoff-matriisia , joka matriisipuulauseen kautta suhteuttaa hiekkapinon ryhmän järjestyksen kaavion virittävien puiden lukumäärään (on myös suora bijektio ), sekä Riemannin-Rochin lause graafille. Hiekanjyvien tiheyden laskeminen pinossa, joka saadaan monesta äärettömän neliöruudukon yhteen solmuun kasatuista hiekkajyväistä, liittyy Apolloniuksen ruudukkoon . Trooppisia käyriä voidaan saada hiekkakasoista äärellisessä neliöruudukossa [5] .
| fraktaaleja | ||
|---|---|---|
| Ominaisuudet | ||
| Yksinkertaisimmat fraktaalit | ||
| outo houkutin | Multifraktaali | |
| L-järjestelmä | Tilan täyttökäyrä | |
| Bifurkaatiofraktaalit | ||
| Satunnaiset fraktaalit | ||
| Ihmiset | ||
| liittyvät aiheet | ||
| Conwayn Game of Life ja muut soluautomaatit | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Konfigurointiluokat | |||||
| Kokoonpanot |
| ||||
| Ehdot | |||||
| Muut avaruusalukset kaksiulotteisessa hilassa |
| ||||
| Yksiulotteinen avaruusalus | |||||
| Ohjelmistot ja algoritmit |
| ||||
| KA tutkijat | |||||