Monotoninen sekvenssi

Monotoninen sekvenssi on sekvenssi, jonka elementit eivät pienene lukumäärän kasvaessa tai päinvastoin, eivät kasva. Tällaisia sekvenssejä löytyy usein tutkimuksesta, ja niillä on useita erityispiirteitä ja lisäominaisuuksia. Yhden numeron sarjaa ei voida pitää nousevana tai laskevana.

Määritelmät

Olkoon joukko , johon järjestyssuhde otetaan käyttöön . $X$

Joukon elementtijonoa kutsutaan ei- väheneväksi , jos jokainen tämän sekvenssin alkio ei ylitä seuraavaa. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- ei vähene

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1))

Joukon elementtijonoa kutsutaan ei- nousevaksi , jos tämän sekvenssin jokainen seuraava alkio ei ylitä edellistä. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- ei-nouseva

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1))

Joukon elementtijonoa kutsutaan kasvavaksi , jos tämän sekvenssin jokainen seuraava alkio ylittää edellisen. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- lisääntyy

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1))

Joukon elementtijonoa kutsutaan laskevaksi , jos jokainen tämän sekvenssin alkio ylittää seuraavan. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- vähenee

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1))

Jaksoa kutsutaan monotoniseksi , jos se on joko ei-laskeva tai ei-kasvava. [yksi]

Sarjaa kutsutaan tiukasti monotoniseksi , jos se on joko kasvava tai laskeva.

On selvää, että tiukasti monotoninen sekvenssi on monotoninen.

Joskus käytetään muunnelmaa terminologiasta, jossa termiä "kasvava sekvenssi" pidetään synonyyminä termille "ei-laskeva sekvenssi" ja termiä "laskeva sekvenssi" pidetään synonyyminä termille "ei-laskeva sekvenssi". kasvava järjestys". Tällaisessa tapauksessa kasvavia ja laskevia sekvenssejä yllä olevasta määritelmästä kutsutaan "tiukasti kasvaviksi" ja "tiukasti laskeviksi".

Monotonisuusvälit

Voi käydä ilmi, että yllä olevat ehdot eivät täyty kaikille numeroille , vaan vain tietyn alueen numeroille $n\in {\mathbb N}$

I=\{n\in {\mathbb N}\mid N_{{-}}\leqslant n<N_{{+}}\}

(tässä oikea raja voidaan kääntää äärettömään). Tässä tapauksessa sekvenssiä kutsutaan monotoniseksi intervalliksi , ja itse aluetta kutsutaan sekvenssin monotoniseksi intervalliksi . ${\näyttötyyli N_{+))$ $minä$ $minä$

Esimerkkejä

Luonnollisten lukujen sarja .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=n$ .
- Aloitusosat: . $(1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )$
- Kasvava järjestys.
- Koostuu luonnollisista luvuista.
- Rajoitettu alhaalta, ei rajoitettu ylhäältä.

Fibonaccin sekvenssi .
- $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{{n-1}}+x_{{n-2}},&n\geqslant 3\end{cases} }$
- Aloitusosat: . $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )$
- Ei-laskeva järjestys.
- Koostuu luonnollisista luvuista.
- Rajoitettu alhaalta, ei rajoitettu ylhäältä.

Geometrinen eteneminen pohjan kanssa . $1/2$
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{{n-1))))$ .
- Aloitusosat: . $(1.1/2.1/4.1/8.1/16,\cdots )$
- Laskeva sekvenssi.
- Koostuu rationaalisista luvuista .
- Rajoitettu molemmin puolin.

Jakso, joka konvergoi numeroon e .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .
- Aloitusosat: . $(2.9/4.64/27.625/256,\cdots )$
- Kasvava järjestys.
- Koostuu rationaalisista luvuista , mutta suppenee transsendentaaliluvuksi .
- Rajoitettu molemmin puolin.

Muodon rationaalilukujen sarja ei ole monotoninen. Se on kuitenkin (tiukasti) pienenevä aikavälillä ja (tiukasti) kasvamassa välillä . $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ $\{1,\,\!2,3,4\}$ $\{n\in {\mathbb N}\mid n\geqslant 5\}$

Ominaisuudet

Rajoitus.
- Jokainen ei-pienevä sarja on rajoitettu alhaalta.
- Jokainen ei-kasvava sekvenssi on rajoitettu ylhäältä.
- Jokainen monotoninen sekvenssi on rajoitettu ainakin yhdeltä puolelta.

Monotoninen sekvenssi konvergoi, jos ja vain jos se on rajattu molemmilta puolilta. ( Weierstrassin rajatun monotonisen sekvenssin lause )
- Suppenevaa ei-pienenevää jonoa rajoittaa ylhäältä sen raja .
- Konvergenttia ei-kasvavaa sekvenssiä rajoittaa alhaalta sen raja.

Muistiinpanot

↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Luku 3. Rajateoria // Matemaattinen analyysi / Toim. A. N. Tikhonova . - 3. painos , tarkistettu ja ylimääräistä - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68 - 105. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Katso myös

Monotoninen toiminto