Aksioomajärjestelmän riippumattomuus on tietyn aksiomaattisen teorian aksioomijärjestelmän ominaisuus , joka koostuu siitä tosiasiasta, että jokainen aksiooma on itsenäinen, eli se ei ole looginen seuraus tämän teorian muiden aksioomien joukosta . Aksioomijärjestelmää, jolla on tämä ominaisuus, kutsutaan itsenäiseksi.
Tietyn aksiomaattisen teorian yhden tai toisen aksiooman riippumattomuus tarkoittaa, että tämä aksiooma voidaan korvata sen negaatiolla ilman ristiriitaa. Toisin sanoen aksiooma on itsenäinen silloin ja vain, jos on olemassa tulkinta, jonka mukaan tämä aksiooma on epätosi ja kaikki muut annetun teorian aksioomit ovat tosia. Tällaisen tulkinnan rakentaminen on klassinen menetelmä riippumattomuuden todistamiseksi.
Muodostettaessa aksiomaattista teoriaa muodollisen järjestelmän muodossa, jossa loogisen seurauksen suhde on formalisoitu johdettavuuden käsitteen muodossa, aksiooma katsotaan itsenäiseksi, jos sitä ei voida johtaa muista aksioomeista tämän formaalin johdannaissääntöjä käyttäen. järjestelmä. Laajalle muodollisten järjestelmien luokalle (ns. ensimmäisen asteen teoriat) riippumattomuus johdettavuuden suhteen on sama kuin riippumattomuus loogisen seurauksen suhteen.
Suhteessa muodollisiin järjestelmiin ja laskelmiin yleensä on järkevää puhua päättelysääntöjen riippumattomuudesta. Päättelysäännön sanotaan olevan riippumaton, jos annetulla laskulla on lause, jota ei voida päätellä ilman tätä sääntöä.
Aksioomijärjestelmän riippumattomuus ei sinänsä ole aksiomaattisen teorian välttämätön ominaisuus. Se vain osoittaa, että teorian alkusäännösten kokonaisuus ei ole tarpeeton, ja tarjoaa joitain teknisiä mukavuuksia.
Tutkimukset aksioomajärjestelmän riippumattomuudesta ja riippumattomuuden todisteista auttavat kuitenkin ymmärtämään paremmin tutkittavaa teoriaa. Riittää, kun muistetaan, mikä vaikutus Eukleideen viidennen postulaatin riippumattomuudesta geometrian aksioomajärjestelmässä oli matematiikan kehitykseen.