Vysochansky-Petunin epätasa-arvo

Todennäköisyysteoriassa Vysochansky -Petunin -epäyhtälö antaa alarajan todennäköisyydelle , jolla äärellisen varianssin omaava satunnaismuuttuja on intervallin sisällä, jonka rajat on annettu tiettynä osana keskihajontaa tämän satunnaismuuttujan keskiarvosta. Toisaalta tämä vastaa sanomista, että epäyhtälö ilmaisee ylärajan todennäköisyydelle, että satunnaismuuttuja putoaa tämän välin ulkopuolelle. Ainoa rajoitus todennäköisyystiheysfunktiolle on, että sen on oltava unimodaalinen ja sillä on oltava äärellinen varianssi. (Tästä seuraa, että tällainen jakautumistiheysfunktio on jatkuva paitsi moodipiste, jonka todennäköisyys voi olla suurempi kuin nolla). Tämä epäyhtälö pätee myös jyrkästi vinoutuneisiin jakaumiin, mikä asettaa rajat satunnaismuuttujan arvojoukolle, joka osuu tietylle välille.

Olkoon X satunnaismuuttuja, jolla on unimodaalinen jakauma, keskiarvo ja äärellinen nollasta poikkeava varianssi . Sitten mille tahansa , $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\lambda >{\sqrt {8 \over 3}}\noin 1,63299$

P(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2))}.

On myös osoitettu, että tapauksessa kun , on epäsymmetrisiä jakaumia, joiden rajaa rikotaan. $\lambda <{\sqrt {8 \over 3}}$ $4 \over {9\lambda ^{2}}$

Tämä lause vahvistaa Chebyshev-epäyhtälöä , mukaan lukien murto-osa , johtuen siitä, että satunnaismuuttujan jakautumistiheydelle asetetaan unimodaalisuusrajoitus. $4\over 9$

Matemaattisten tilastojen sovelluksissa käytetään hyvin usein heuristista sääntöä, jossa , joka vastaa todennäköisyyden ylärajaa ja siten muodostetaan raja, joka sisältää 95,06 % satunnaismuuttujan arvosta. Normaalijakauman tapauksessa pistemäärä paranee 99,73 prosenttiin. $\lambda =3$ ${4 \over 81}\noin 0,04938$

Katso myös

Gaussin epäyhtälö , samanlainen tulos, jossa etäisyys otetaan moodista keskiarvon sijaan.

Lähteet

Vysochansky D. F., Petunin Yu. I. 3-sigman säännön perustelu unimodaalisille jakaumille. — Todennäköisyysteoria ja mat. tilastot, 1979, nro. 21, s. 23-35.