Yleinen dynamiikkayhtälö

Mekaniikan yleinen yhtälö on matemaattinen muotoilu d'Alembert-Lagrange -periaatteesta , joka antaa yleisen menetelmän dynamiikan ja staattisen ongelmien ratkaisemiseen ja on yksi teoreettisen mekaniikan perusperiaatteista .( [1] P.142) Tämä periaate yhdistää mahdollisten siirtymien periaatteen ja d'Alembertin periaatteen

Mekaanisen järjestelmän tasapaino

Vapaalle kappaleelle , toisin sanoen sellaiselle kappaleelle, jolle ei aseteta rajoituksia, tasapainoehto karteesisessa koordinaatistossa määräytyy järjestelmän kuhunkin komponenttiin vaikuttavien voimien projektioiden summan nollan kanssa. koordinaattiakselit ja kaikkien kehoon kohdistuvien voimien momenttien summat suhteessa näihin akseleihin:

$\Sigma F_{x}(i)=\Sigma F_{y}(i)=\Sigma F_{z}(i)=0$ (yksi)

ja (2) $\Sigma (M_{x}(i)=\Sigma (M_{y}(i)=\Sigma (M_{z}(i)=0$

Näiden ehtojen täyttyminen osoittaa, että valittu viitekehys on inertiaalinen ja siksi tässä vertailukehyksessä keho joko on levossa tai liikkuu kääntymättä (mukaan lukien pyöriminen) tasaisesti ja suoraviivaisesti. ( [1] P.601)

Mutta näiden ehtojen täyttyminen ei riitä tasapainon säilymiseen järjestelmään kohdistuvista ulkoisista vaikutuksista huolimatta. Tätä varten sen on oltava kestävää .

Järjestelmän tasapainoa pidetään vakaana, jos sen konservatiivisuutta lievästi rikkoen, eli sen kineettisten ja potentiaalisten energioiden summan muutoksella ( [1] s. 309) ulkoisen vaikutuksen vaikutuksesta, sen komponentit poikkeavat hieman tasapainoasennosta ja palata siihen vaikutuksen päätyttyä.

Konservatiivisille systeemeille riittävä ehto järjestelmän tasapainolle määräytyy Lagrange-Dirichlet-lauseella , jonka mukaan tasapaino on stabiili, jos sen tasapainon sijainti vastaa minimipotentiaalienergiaa ( [ 1] s. 797).

Mekaaniset liitännät

Jos keho ei ole vapaa sille asetettujen sidosten vuoksi, kaavojen (1) ja (2) mukaiset, jotka eivät viittaa sidosten reaktioihin, määräävät järjestelmän tasapainon. Loput yhtälöt antavat tietoa, jonka avulla on mahdollista määrittää sidosten reaktiot, mikä tulee mahdolliseksi, jos sidokset kiinnittävät jäykästi järjestelmän estäen liikkeet siinä ( [1] P.601). Muuten tarve ottaa kytkentäreaktiot huomioon ja sisällyttää ne liikeyhtälöön luo ongelman, joka ei suinkaan ole aina ratkaistavissa. [2]

Mahdollisten siirtymien periaate

Muutoksen mekaanisen järjestelmän tilassa määrää sen koordinaattien muutos , joka määrää vapausasteiden lukumäärän . Monissa tapauksissa niiden määrää rajoittavat liitännät, jotka estävät tietyt muutokset järjestelmän komponentteihin vaikuttavalla voimalla. Jäljellä olevat mahdollisuudet muuttaa koordinaatteja määräytyvät mahdollisten siirtymien mukaan .

Mahdollisten siirtymien periaate on yksi kappaleiden liikkeen tieteen variaatioperiaatteista . Se luo yleisen tasapainoehdon mekaaniselle järjestelmälle. Tässä tapauksessa tasapainolla tarkoitetaan mekaanisen järjestelmän sellaista voimien vaikutuksen alaista tilaa, jossa kaikki järjestelmän muodostavat aineelliset pisteet eivät muuta asemaansa, eli ne ovat levossa tähän järjestelmään nähden. Jos tätä tasapainoa havaitaan inertiakehyksessä , sellaista tasapainoa kutsutaan absoluuttiseksi , ei-inertiaalisessa kehyksessä tasapaino on vain suhteellinen .( [1] P.601)

Tämä periaate sanoo:

Mekaanisen järjestelmän tasapainottamiseksi ihanteellisilla (ei työtä tekevillä) sidoksilla on välttämätöntä ja riittävää, että kaikkien järjestelmään kohdistuvien aktiivisten voimien työn summa järjestelmän mahdollisessa siirtymässä on yhtä suuri kuin nolla ( [1] s. 81)

$\Sigma (\delta A(i)=\Sigma (F(i)\cos \alpha (i)\delta s(i)=0$ (3)

$\delta A(i)$ on alkeistyö, jota suorittavat "aktiiviset voimat" , jotka on suunnattu kulmassa virtuaalisen siirtymän suuntaan $F(i)$ $\alpha (i)$ $\delta s(i)$

Aktiivisia voimia koskeva varaus edellyttää inertiavoimien puuttumista, toisin sanoen mahdollisten siirtymien huomioon ottamista inertiaalisessa vertailukehyksessä.

Olennaista on, että aktiivisten voimien lukumäärä sisältää myös vaikeasti ja joissain tapauksissa matemaattisesti kuvailtamattomia sidosreaktioita. Tässä tapauksessa osoittautuu tehokkaaksi ottaa huomioon ehdottoman jäykät sidokset , jotka eivät ole muotoutuvia eivätkä siksi tee työtä. Kuten inertiaaliset viitekehykset , tällaiset linkit ovat abstraktioita, jotka hyväksytään vain sillä ehdolla, että niiden hyväksymisestä johtuvat virheet eivät ylitä aiemmin sovittua arvoa. Mutta olettaen, että sidokset ovat ehdottoman jäykkiä, on mahdollista ratkaista mekaanisen järjestelmän tasapainoongelma mahdollisten siirtymien periaatteen kannalta, että sidoksen reaktio voidaan yleensä jättää huomioimatta .( [2 ] P.178 −189)

d'Alembertin periaate

Jos tarkastellaan mekaanisia järjestelmiä, jotka eivät ole tasapainotilassa, kytkentäreaktioita ei voida jättää huomiotta. Säilyttäen kuitenkin oletuksen näiden sidosten absoluuttisesta jäykkyydestä, käy kuitenkin ilmi, että tässä tapauksessa sidoksen käsite on menettänyt fyysisen sisältönsä ja mahdollisuus ilmaista sidosten reaktiot koordinaattien funktiona on kadonnut [2 ] , siksi on mahdotonta kirjoittaa liikedifferentiaaliyhtälöitä.

D'Alembert ehdotti ulospääsyä tästä vaikeudesta.

Newtonin toinen laki on kirjoitettu muodossa:

${m_{i}}{\vec a}$ = + (4) ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}_{b},$

jossa sidosten reaktiovoima lisätään kehoon vaikuttavaan voimaan ${\vec F}_{b}$

Sitten kaikki tasa-arvon ehdot siirretään vasemmalle:

( - ) + = 0 (5) ${\vec {F}}$ ${m_{i}}{\vec a}$ ${\vec F}_{b}$

Näyttää siltä, että voimien tasapaino on mahdollista, mikä mahdollistaa mahdollisten siirtymien periaatteen muodollisen soveltamisen. Ja siksi tässä tuli mahdolliseksi olla ottamatta huomioon sidosten reaktiovoimia [2] .

Mutta voima (- ) ei ole muuta kuin Newtonin kolmannen lain reaktiovoima tai Newtonin hitausvoima , jota ei ole kohdistettu kehoon. Täällä keinotekoisen tekniikan ansiosta se on kiinnitetty tähän kehoon. Näin on syntynyt paradoksaalinen tilanne, joka koostuu siitä, että kehoon vaikuttavat toisiaan kompensoivat voimat, mutta keho kuitenkin liikkuu kiihtyvällä vauhdilla. ${m_{i}}{\vec a}$

Siksi voima (- ), jota kutsutaan d'Alembertin hitausvoimaksi , koska se ei ole objektiivisten fysikaalisten prosessien seuraus, vaan subjektiivisen tahdon tulos, on varmasti fiktiivinen [2] . ${m_{i}}{\vec a}$

D'Alembert-Lagrangen periaate

Alussa d'Alembertin periaate ei sisältänyt mitään mainintaa hitausvoimista. Mutta ajan myötä vektorin (- ) alla alkoi ymmärtää hitausvoima [3] (viite [2] P.131). ${m_{i}}{\vec a}$

Mekaanisessa järjestelmässä, jossa on ihanteelliset kytkennät, aktiivisten voimien ja hitausvoimien suorittaman perustyön summa missä tahansa mahdollisessa (virtuaalisessa) siirtymässä on nolla.

Dynaamiikan yleinen yhtälö

Se on kirjoitettu näin:

\Sigma (\delta A_{a}(i)+\delta A_{j}(i))=0

(6)

tai muuten:

\Sigma (F_{a}(i)\cos \alpha (i)+F_{j}(i)\cos \beta (i))\delta s(i)=0.

(7)

Tässä on perustyötä, jota tekevät "aktiiviset voimat" - indeksi x = a (eli voimat, joiden alkuperä voidaan periaatteessa jäljittää) ja Eulerin hitausindeksi - x = j (eli voimat, jotka syntyvät voiman vaikutuksesta muut aktiiviset voimat eivät itseensä kohdistuneet järjestelmän i -komponenttiin, vaan vertailukehykseen, joka muutti kiihtyvyyttään). $\delta A_{x}(i)$

Kohdassa (7) oletetaan, että työn aiheuttaa voima , joka on suunnattu kulmaan aktiiviselle voimalle ja kulmassa inertiavoimalle virtuaalisen siirtymän suuntaan . $F_{x}(i)$ $\alpha (i)$ $\beta (i)$ $\delta s(i)$

Huomautus

Mekaniikan yleinen yhtälö ottaa huomioon inertiavoimien työn aktiivisten voimien työn ohella. Tämä tarkoittaa sitä, että mekaniikan yleisten periaatteiden kannalta suhteessa hitausvoimiin (tarkemmin sanottuna Eulerin hitausvoimiin) "... on tunnustettava, ettei meillä ole mitään hyvää syytä epäillä voimien todellisuutta hitaus...” ( [2] s. 178)

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Physical Encyclopedic Dictionary / Ch. toim. A. M. Prokhorov. Red.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov ym. - M .: Sov. encyclopedia, 1983.-323 s., il, 2 arkkia väriä ill.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Khaykin, Semyon Emmanuilovich . Hitausvoimat ja painottomuus . M., 1967. Kustantaja "Nauka". Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos.
↑ Nikolai E. L. kokoelma "Leningradin teollisuusinstituutin julkaisut" nro 6,1936, ONTI, Leningrad