Optinen lause

Optinen lause on sironnan aaltoteoriassa relaatio, joka yhdistää sironnan amplitudin ja sironnan poikkileikkauksen . $f(\theta )$ $\sigma$

Optinen lause muotoillaan seuraavasti:

\sigma ={\frac {4\pi }{k}}\operaattorinimi {Im} f(0),

missä on eteenpäinsirontaamplitudi, on sironnan kokonaispoikkileikkaus ja on tulevan aallon aaltovektori. Koska lause on seuraus energian säilymislaista (kvanttimekaniikassa todennäköisyys), se on melko yleinen väite, jolla on laaja valikoima sovelluksia. $f(0)$ $\sigma$ $k$

Lauseen yleisempi muoto:

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\omega ''.

Todiste

Sirontaamplitudin asymptoottinen muoto suurilla etäisyyksillä:

\psi \approx e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}+{\frac {1}{r}}f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')e^{ikr},

missä on hiukkasten tulosuunta ja sironnan suunta. $\mathbf n$ $\mathbf {n} '$

Mikä tahansa lineaarinen funktioiden yhdistelmä, jolla on eri tulosuunnat, edustaa myös jotakin mahdollista sirontaprosessia. Kertomalla mielivaltaisilla kertoimilla ja integroimalla kaikkiin suuntiin saadaan tällainen lineaarinen yhdistelmä integraalin muodossa $\psi$ $\psi$ $F(\mathbf {n} )$ $\mathbf n$

\int F(\mathbf {n} )e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}\,d\Omega +{\frac {e^{ikr}}{r }}\int F(\mathbf {n} )f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')\,d\Omega .

Koska etäisyys on suuri, ensimmäisen integraalin tekijä on muuttujavektorin suunnan nopeasti värähtelevä funktio . Integraalin arvo määräytyy siksi pääasiassa alueista, jotka ovat lähellä niitä arvoja , joissa eksponentin ääriarvo ( ). Jokaisella näillä alueilla tekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä, jonka jälkeen integrointi antaa $r$ ${\displaystyle e^{ikr(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')))$ $\mathbf n$ $\mathbf n$ $\mathbf {n} \pm \mathbf {n} '$ $F(\mathbf {n} )\approx F(\pm \mathbf {n} ')$

2\pi iF(-\mathbf {n} '){\frac {e^{-ikr}}{kr}}-2\pi iF(\mathbf {n} '){\frac {e^ {ikr}}{kr}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F(\mathbf {n} )\, d\Omega .

Kirjoitetaan tämä lauseke uudelleen kompaktimpaan muotoon, jätetään pois yhteinen tekijä : $2\pi i/k$

{\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-\mathbf {n} ')-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}} F(\mathbf {n} '),

missä

{\hat {S}}=1+2ik{\hat {f)),

a on kiinteä operaattori: ${\näyttötyyli {\hattu {f))}$

{\hat {f}}F(\mathbf {n} ')={\frac {1}{4\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')F (\mathbf {n} )\,d\Omega .

Aaltofunktion ensimmäinen termi kuvaa aaltoa, joka suppenee kohti keskustaa ja toinen aaltoa, joka hajoaa keskustasta. Hiukkasten lukumäärän säilyminen elastisessa sironnassa ilmaistaan hiukkasten kokonaisvirtausten yhtäläisyydellä suppenevissa ja hajaantuvissa aalloissa. Toisin sanoen näillä aalloilla on oltava sama normalisaatio. Tätä varten sirontaoperaattorin tulee olla unitaarinen , ts. ${\näyttötyyli {\hattu {S))}$

{\hattu {S}}{\hattu {S}}^{+}={\hattu {1)),

tai (ottaen huomioon lausekkeen ): ${\näyttötyyli {\hattu {S))}$

{\hat {f}}-{\hat {f}}^{+}=2ik{\hat {f}}{\hat {f}}^{+}.

Lopuksi, ottaen huomioon määritelmän , saamme lauseen väitteen: ${\näyttötyyli {\hattu {f))}$

f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''.

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa III). - ISBN 5-02-014421-5 .