Monty Hallin paradoksi

Monty Hallin paradoksi  on yksi tunnetuista todennäköisyysteorian ongelmista , jonka ratkaisu on ensi silmäyksellä ristiriidassa terveen järjen kanssa. Tämä tehtävä ei ole paradoksi sanan suppeassa merkityksessä, koska se ei sisällä ristiriitaa, sitä kutsutaan paradoksiksi, koska sen ratkaisu saattaa tuntua odottamattomalta. Lisäksi monien ihmisten on vaikea tehdä oikeaa päätöstä sen kertomisen jälkeenkin [1] .

Kalifornian yliopiston professori Steve Selvin julkaisi ongelman ensimmäisen kerran [2] [3] (yhdessä ratkaisun kanssa) vuonna 1975 The American Statistician -julkaisussa. Hänestä tuli suosittu esiintymisen jälkeen Parade-lehdessä vuonna 1990 [4] .

Sanamuoto

Ongelma on muotoiltu kuvaukseksi pelistä , joka perustuu amerikkalaiseen televisiopeliin "Let's Make a Deal", ja se on nimetty tämän ohjelman isännöitsijän mukaan. Tämän ongelman yleisin muotoilu, joka julkaistiin vuonna 1990 Parade Magazinessa , on seuraava:

Kuvittele, että sinusta on tullut osallistuja peliin, jossa sinun on valittava yksi kolmesta ovesta. Yhden oven takana on auto , kahden muun oven takana vuohet . Valitset yhden ovista, esimerkiksi numero 1, jonka jälkeen isäntä, joka tietää missä auto on ja missä vuohet ovat, avaa yhden jäljellä olevista ovista, esimerkiksi numero 3, jonka takana on vuohi. Sen jälkeen hän kysyy sinulta - haluaisitko muuttaa valintaasi ja valita oven numero 2? Lisääntyvätkö mahdollisuutesi voittaa auto, jos hyväksyt isännän tarjouksen ja muutat valintaasi?

Julkaisun jälkeen kävi heti selväksi, että ongelma oli muotoiltu väärin: kaikkia ehtoja ei ollut asetettu. Ohjaaja voi esimerkiksi noudattaa "helvetin Monty" -strategiaa: tarjoutua muuttamaan valintaa, jos ja vain, jos pelaaja on valinnut auton ensimmäisellä liikkeellä. On selvää, että alkuperäisen valinnan muuttaminen johtaa taattuihin tappioihin tällaisessa tilanteessa (katso alla).

Suosituin on ongelma lisäehdolla [5] – pelin osallistuja tietää etukäteen seuraavat säännöt :

Seuraava teksti käsittelee Monty Hall -ongelmaa tässä sanamuodossa.

Jäsennetään

Ovi 1 Ovi 2 Ovi 3 Tulos, jos muutat valintaa Tulos, jos et muuta valintaa
Auto Vuohi Vuohi Vuohi Auto
Vuohi Auto Vuohi Auto Vuohi
Vuohi Vuohi Auto Auto Vuohi

Voittostrategian kannalta on tärkeää: jos muutat oven valintaa johtajan toiminnan jälkeen, voitat, jos valitsit alun perin häviävän oven. Tämä tapahtuu todennäköisyydellä 2 ⁄ 3 , koska aluksi on olemassa kaksi tapaa kolmesta valita häviävä ovi.

Mutta usein tätä ongelmaa ratkaiseessaan he väittävät jotain tämän kaltaista: isäntä poistaa aina lopulta yhden kadonneen oven, ja sitten todennäköisyydet, että auto ilmestyy kahden auki olevan oven taakse, on yhtä suuri kuin ½ alkuperäisestä valinnasta riippumatta. Mutta tämä ei ole totta: vaikka valintavaihtoehtoja onkin kaksi, nämä mahdollisuudet (tausta huomioon ottaen) eivät ole yhtä todennäköisiä. Tämä on totta, koska aluksi kaikilla ovilla oli yhtäläiset mahdollisuudet voittaa, mutta sitten eri todennäköisyys putoaa.


Useimmille ihmisille tämä johtopäätös on ristiriidassa tilanteen intuitiivisen käsityksen kanssa, ja johtuen loogisen päätelmän ja vastauksen välisestä ristiriidasta, johon intuitiivinen mielipide kallistuu, ongelmaa kutsutaan Monty Hallin paradoksiksi .

Muista, että pelaajan ensimmäinen ovivalinta vaikuttaa kahdesta jäljellä olevasta ovesta, jonka Monty valitsee.


Ovien tilanne tulee vieläkin ilmeisemmäksi, jos kuvittelemme, että ovia ei ole 3, vaan esimerkiksi 1000, ja pelaajan valinnan jälkeen juontaja poistaa 998 ylimääräistä ovea jättäen 2 ovea: sen, jonka pelaaja valitsi. ja vielä yksi. Näyttää ilmeisemmältä, että todennäköisyydet löytää palkinto näiden ovien takaa ovat erilaiset, eivätkä ne ole yhtä suuria kuin ½ . Jos vaihdamme ovea, häviämme vain, jos valitsimme palkintooven heti alusta alkaen, jonka todennäköisyys on 1:1000. Ovea vaihtaessamme voitamme, jos alkuperäinen valintamme oli väärä , ja tämän todennäköisyys on 999/1000. 3 oven tapauksessa logiikka säilyy, mutta päätöstä muutettaessa voiton todennäköisyys on 2⁄3 , vastaavasti eikä 999 ⁄ 1000 .

Toinen päättelytapa on korvata ehto vastaavalla. Kuvittele, että sen sijaan, että pelaaja tekisi ensimmäisen valinnan (olkoon se aina ovi numero 1) ja avaa sitten oven vuohien kanssa jäljellä olevien joukossa (eli aina numeroiden 2 ja 3 joukossa), pelaajan on arvattava ovi ensimmäisellä yrittämällä, mutta hänelle on aiemmin kerrottu, että oven nro 1 takana voi olla auto alkutodennäköisyydellä (33%), ja jäljelle jäävien ovien joukossa on merkitty, millä auton ovilla ei varmasti ole autoa (0 %). Näin ollen viimeisen oven osuus on aina 67%, ja sen valintastrategia on parempi.

Vielä visuaalisempi perustelu on se, että tietäen etukäteen pelin täydelliset ehdot (että valintaa tarjotaan muutettavaksi) ja hyväksymällä nämä ehdot etukäteen, pelaaja itse asiassa valitsee ensimmäistä kertaa oven, jonka takana mielestä palkintoa ei ole (ja voi tehdä virheen todennäköisyydellä 1 ⁄ 3 ). Samalla hän osoittaa epäsuorasti jäljellä olevia kahta ovea, joista toisessa on hänen mielestään palkinto, joka antaa mahdollisuuden voittaa 2 ⁄ 3 . Tämä vastaa peliä, jossa ohjaaja heti alussa tarjosi pelaajalle yhden "ylimääräisen" oven sulkemista pois ja taatusti avaa kaksi loput.

Neljäs vaihtoehto: jos pelaaja on valinnut auton (tämän todennäköisyys on ⅓ ), Monty ehdottaa vaihtoa, ja se johtaa vuohiin. Ja jos pelaaja valitsi vuohen (todennäköisyys ⅔ ) - sitten autoon. Siten posterioritodennäköisyydet ovat ⅓ , jos niitä ei muuteta, ja ⅔ , jos niitä muutetaan. Ja yhtä todennäköinen vasemman ja oikean oven avautuminen, jos pelaaja kuitenkin osoitti autoa, ei salli tiedon poimimista siitä, että vasen tai oikea ovi on auki.

Muu isäntäkäyttäytyminen

Monty Hall -paradoksin klassinen versio sanoo, että isäntä kehottaa pelaajaa vaihtamaan ovea riippumatta siitä, valitsiko hän auton vai ei. Mutta isännän monimutkaisempi käyttäytyminen on myös mahdollista. Tässä taulukossa kuvataan lyhyesti useita käyttäytymismalleja. Ellei toisin mainita, palkinnot ovat yhtä todennäköisiä ovien ulkopuolella, esittäjä tietää missä auto on, ja jos on valinnanvaraa, hän valitsee yhtä suurella todennäköisyydellä kahdesta vuohen joukosta. Jos isäntä vaikuttaa todennäköisyyksiin sen sijaan, että noudattaisi jäykkää menettelyä, niin tavoitteena on pitää auto poissa kohteesta. Aiheen tavoitteena on vastaavasti poimia se.

Isännän käyttäytyminen Tulos
"Infernal Monty": Isäntä tarjoaa vaihtoa, jos ovi on oikea [4] . Todennäköisyydellä ⅔ ei tule tarjousta, ja aihe jää vuohiin. ⅓ todennäköisyydellä  - tarjous tulee, ja muutos antaa aina vuohen.
"Angelic Monty": isäntä tarjoaa vaihtoa, jos ovi on väärä [6] . ⅓ todennäköisyydellä tarjousta ei tule ja kohde ottaa auton. Todennäköisyydellä ⅔  - tulee tarjous, ja vuoro antaa aina auton.
"Tietämätön Monty" tai "Monty Buch": isäntä vahingossa putoaa, ovi avautuu ja käy ilmi, ettei sen takana ole autoa. Toisin sanoen isäntä itse ei tiedä mitä ovien takana on, avaa oven täysin satunnaisesti, ja vain sattumalta sen takana ei ollut autoa [7] [8] [9] . ⅓ todennäköisyydellä kaatunut Monty avaa auton, menetys. Todennäköisyydellä ⅔ seuraa tarjous, ja muutos antaa voiton ½ tapauksista.
Näin järjestetään amerikkalainen show "Deal or No Deal" - pelaaja kuitenkin itse avaa satunnaisen oven, ja jos sen takana ei ole autoa, juontaja tarjoutuu vaihtamaan sitä.
Isäntä valitsee yhden vuohista ja avaa sen, jos pelaaja on valinnut toisen oven. ⅓ todennäköisyydellä tarjousta ei tule, tappiota. Todennäköisyydellä ⅔ seuraa tarjous, ja muutos antaa voiton ½ tapauksista.
Isäntä avaa aina vuohen. Jos valitaan auto, vasen vuohi avautuu todennäköisyydellä p ja oikea vuohi todennäköisyydellä q =1− p . [8] [9] [10] Jos johtaja avasi vasemman oven, siirto antaa voiton todennäköisyydellä . Jos oikein - . Kohde ei kuitenkaan voi vaikuttaa siihen todennäköisyyteen, että oikea ovi avautuu - valinnastaan ​​riippumatta tämä tapahtuu todennäköisyydellä .
Sama, p = q = ½ (klassinen tapaus). Muutos antaa voiton todennäköisyydellä ⅔ .
Sama, p = 1, q = 0 ("voimaton Monty" - väsynyt juontaja seisoo vasemmalla ovella ja avaa lähempänä olevan vuohen). Jos johtaja avasi oikean oven (tämän todennäköisyys on ⅓ ), muutos antaa taatun voiton. Jos jätetään, mikä tapahtuu ⅔ :ssä tapauksista, todennäköisyys on ½ .
Isäntä ei tiedä, mitä ovien takana on. Hän valitsee toisen kahdesta jäljellä olevasta ovesta, neuvottelee salaa kumppanin kanssa ja tarjoaa vaihtoa, jos siellä on vuohi. Eli hän avaa vuohen aina, jos valitaan auto, ja todennäköisyydellä ½ muuten. [yksitoista] Samanlainen kuin Monty Buch -vaihtoehto: ⅓ todennäköisyydellä salainen kumppani sanoo, että siellä on auto, tarjousta ei tule, menetys. ⅔ todennäköisyydellä tulee tarjous, ja muutos antaa voiton ½ tapauksista.
Yleinen tapaus: peli toistetaan monta kertaa, todennäköisyys piilottaa auto yhden tai toisen oven taakse sekä avata tämä tai toinen ovi on mielivaltainen, mutta isäntä tietää missä auto on ja tarjoaa aina vaihtelua avaamalla yhden oven vuohet. [12] [13] Nash-tasapaino : Monty Hallin paradoksi klassisessa muodossaan on isännälle edullisin - auto piiloutuu minkä tahansa oven taakse ⅓ todennäköisyydellä ; jos on valinnanvaraa, avaa mikä tahansa vuohi satunnaisesti. Voiton todennäköisyys on ⅔ .
Sama, mutta isäntä ei välttämättä avaa ovea ollenkaan. Nash-tasapaino : isännöitsijän on hyödyllistä olla avaamatta ovea, voiton todennäköisyys on ⅓ .

Vaihtoehto: Kolmen vangin haaste

Martin Gardner ehdotti ongelmaa vuonna 1959.

Kolme vankia, A, B ja C, asetetaan eristysselliin ja tuomitaan kuolemaan. Kuvernööri valitsee sattumanvaraisesti yhden heistä ja antaa hänelle anteeksi. Vankeja vartioiva vartija tietää, kuka on armahtanut, mutta hänellä ei ole oikeutta sanoa niin. Vanki A pyytää vartijaa kertomaan hänelle sen (toisen) vangin nimen, joka varmasti teloitetaan: " Jos B armahdetaan, kerro minulle, että C teloitetaan. Jos C armahdetaan, kerro, että B teloitetaan. armahdetaan Heitän kolikon ja sanon B:n tai C:n nimen. "

Vartija kertoo vangille A, että vanki B teloitetaan. Vanki A on iloinen kuultuaan tämän, koska hän uskoo, että hänen eloonjäämistodennäköisyytensä on nyt ½ , eikä ⅓ , kuten ennen. Vanki A kertoo salaa vangille C, että B teloitetaan. Myös vanki C on iloinen kuullessaan tämän, sillä hän uskoo edelleen, että vangin A selviytymistodennäköisyys on ⅓ ja hänen selviytymistodennäköisyytensä on kasvanut 2 ⁄ 3 :een . Miten tämä voi olla?

Jäsennetään

Monty Hallin paradoksin tuntevat tietävät nyt, että C on oikeassa ja A väärässä.

Joten lause "Suorita B" jättää 1. ja 4. vaihtoehdon - eli 2⁄3 todennäköisyyttä , että C saa anteeksi, ja ⅓ että A.

Ihmiset ajattelevat, että todennäköisyys on ½ , koska he jättävät huomiotta kysymyksen, jonka vanki A kysyy vartijalle, olemuksen. Jos vartija osaisi vastata kysymykseen "teloitetaanko vanki B?", niin jos vastaus olisi kyllä, A:n teloituksen todennäköisyys todellakin pienenisi 2⁄3 : sta ½ : een .

Kysymystä voidaan lähestyä toisella tavalla: jos A saa anteeksi, vartija sanoo minkä tahansa nimen sattumanvaraisesti; jos A teloitetaan, vartija sanoo teloitettavan yhdessä A:n kanssa. Kysymys ei siis anna A:lle lisämahdollisuutta anteeksiantoon.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Vorontsov, I.D., Raitsin, A.M. MONTY HALL PARADOX  // TELEVIESTINTÄ JA TIETOTEKNOLOGIA. - 2015. - Nro 2 . - S. 7 . Arkistoitu alkuperäisestä 15. kesäkuuta 2021.
  2. ↑ Selvin, Steve. Ongelma todennäköisyydellä (kirje toimittajalle  )  // American Statistician : päiväkirja. — Voi. 29 , ei. 1 . - s. 67 . — .
  3. ↑ Selvin, Steve. Monty Hall -ongelmasta (kirje toimittajalle  )  // American Statistician : päiväkirja. — Voi. 29 , ei. 3 . - s. 134 . — .
  4. ↑ 1 2 Tierney, John (21. heinäkuuta 1991), Monty Hallin ovien takana: palapeliä, keskustelua ja vastausta? , The New York Times , < https://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 > . Haettu 18. tammikuuta 2008. Arkistoitu 9. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa 
  5. ↑ Monty Hall -ongelma, uudelleen harkittu, arkistoitu 8. maaliskuuta 2019 Wayback Machinessa . Martin Gardner 2000-luvulla
  6. ↑ Granberg, Donald (1996). "Vaihda vai ei vaihtaa". Liite julkaisuun vos Savant, Marilyn, Loogisen ajattelun voima . St. Martinin lehdistö. ISBN 0-312-30463-3 , ( rajoitettu online-kopio  " Google-kirjoissa ").
  7. ↑ Granberg, Donald ja Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma", Persoonallisuus ja sosiaalipsykologia Bulletin 21 (7): 711-729.
  8. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl   // Math Horizons :lehti. – 2005a. - P. Syyskuun numero, 5-7 . Online-uudelleenpainos, 2008 Arkistoitu 16. marraskuuta 2010 Wayback Machinessa .
  9. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Salaman iskemä: todennäköisyyksien utelias maailma . Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7 .
  10. ↑ Morgan, JP, Chaganty, NR, Dahiya, RC ja Doviak, MJ (1991). "Tehdään sopimus: Pelaajan dilemma", Arkistoitu 21. elokuuta 2016 Wayback Machinessa American Statistician 45 : 284-287 .
  11. ↑ Mueser, Peter R. ja Granberg, Donald (toukokuu 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" Arkistoitu 25. toukokuuta 2013, Wayback Machine , University of Missouri Working Paper 99-06. Haettu 10. kesäkuuta 2010.
  12. ↑ Gill, Richard (2010) Monty Hall -ongelma. s. 858-863, International Encyclopaedia of Statistical Science , Springer, 2010. Painos [1]
  13. ↑ Gill, Richard (2011) Monty Hall -tehtävä ei ole todennäköisyysarvostelu (se on haaste matemaattisessa mallintamisessa). Statistica Neerlandica 65 (1) 58-71, helmikuu 2011. Painos [2]

Linkit

Kirjallisuus