Plückerin koordinaatit

Plücker-koordinaatit ovat koordinaatteja ( lukujoukkoja), jotka määrittelevät vektorin tai projektioavaruuden aliavaruuksia . Ne ovat projektiivisen avaruuden pisteiden homogeenisten koordinaattien yleistys, ja ne on myös määritelty kertomalla mielivaltaisella nollasta poikkeavalla tekijällä. Plücker esitteli ensimmäisenä kolmiulotteisen projektioavaruuden projektioviivojen erityistapauksessa, mikä vastaa myös vektoriavaruuksien tapausta. $M$ $L$ $\dim M=2$ $\dim L=4$

Määritelmä koordinaatteina

Olkoon -ulotteinen aliavaruus -ulotteinen vektoriavaruus . Määrittääksemme aliavaruuden Plücker-koordinaatit, valitsemme mielivaltaisen kantakohdan kentässä ja mielivaltaisen kannassa . Jokaisella vektorilla on koordinaatit perusteella , eli . Kirjoittamalla vektorien koordinaatit merkkijonoiksi saadaan matriisi $M$ $m$ $n$ $L$ $M$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $L$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ $M$ $a_{i}$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n))$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},

jonka arvo on . Merkitään matriisin mollilla , joka koostuu sarakkeista, joiden numerot saavat arvot välillä - . Luvut eivät ole riippumattomia: jos indeksijoukko saadaan permutaatiolla , niin tapahtuu yhtäläisyys , jossa plus- tai miinusmerkki vastaa sitä, onko permutaatio parillinen vai pariton. Yleisellä nollasta poikkeavalla kertoimella laskettuna lukujoukkoa kaikille järjestetyille indeksisarjoille , jotka saavat arvot välillä -, kutsutaan aliavaruuden Plücker-koordinaateiksi . $m$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $A$ ${\displaystyle i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $yksi$ $n$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$ ${\displaystyle \sigma \in S_{m))$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$ $\sigma$ ${\displaystyle C_{n}^{m))$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $yksi$ $n$ $M$

Ominaisuudet

1. Riippumattomuus perustan valinnasta .

Jos aliavaruuteen valitaan toinen kanta , uusi Plücker-koordinaattijoukko näyttää tältä , jossa on jokin nollasta poikkeava tekijä. Itse asiassa uusi kanta liittyy vanhoihin suhteisiin , ja matriisin determinantti on nollasta poikkeava. Plückerin koordinaattien määritelmän ja matriisien tuotteen determinantin lauseen mukaan meillä on , missä . $M$ ${\displaystyle a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c$ ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m))$ $(a'_{ij})$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c=\det(a'_{ij})$

2. Grassmannian .

Määrittämällä kullekin -ulotteiselle aliavaruudelle joukon sen Plücker-koordinaatteja , yhdistämme jonkin pisteen ulottuvuuden projektioavaruudesta . Tällä tavalla rakennettu kartta on injektiivinen , mutta ei surjektiivinen (eli sen kuva ei ole sama kuin koko avaruus ). Kuvauksen kohteena olevan -ulotteisen avaruuden kaikki -ulotteisten aliavaruuksien joukon kuva on -ulotteinen projektiiivinen algebrallinen muunnelma vuonna , jota kutsutaan Grassmann-variaatioksi tai Grassmanniksi ja jota merkitään tai . $m$ $M$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $M$ $P$ $C_{n}^{m}-1$ $g$ $P$ $m$ $n$ $g$ $m(nm)$ $P$ $G(m,\;n)$ $\mathrm {Gr} _{m}(L)$

3. Plücker-suhteet .

Kriteeri, jolla voidaan määrittää, kuuluuko projektiivisen avaruuden tietty piste Grassmannille , on ns. Plücker-relaatiot : $P$ $G(m,\;n)$

\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r)) \cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r))},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \, (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),

jossa kaikki indeksit joukoissa ja ottavat arvot välillä - , merkki tarkoittaa sen alapuolella olevan indeksin pois jättämistä. Tämä summa saadaan, jos yksi indeksi poistetaan joukosta yksi kerrallaan ja tämä indeksi osoitetaan joukon oikealle puolelle, jolloin tuloksena olevat kaksi lukua kerrotaan (huomaa, että nämä luvut ovat matriisin sivulukuja , mutta eivät välttämättä Plücker-koordinaatit, koska niiden indeksien joukkoja ei välttämättä järjestetä nousevasti) ja sitten otetaan kaikkien tällaisten tulojen summa vuorotellen. Plücker-relaatiot pätevät jokaiselle -ulotteiselle aliavaruudelle . Ja päinvastoin, jos jonkin projektiivisen avaruuden pisteen homogeeniset koordinaatit , , täyttävät nämä suhteet, niin tämä piste, kun se on kartoitettu , vastaa jotakin :n aliavaruutta , eli se kuuluu . $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $yksi$ $n$ ${\breve {))$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))$ $A$ $m$ $M\subset L$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $P$ $g$ $M\subset L$ $G(m,\;n)$

Matriisien kielellä tämä tarkoittaa: jos luvut tyydyttävät Plücker-relaatiot, niin on matriisi, jolle ne ovat maksimiasteen molempia, ja jos eivät, niin sellaista matriisia ei ole. Tämä ratkaisee ongelman mahdollisuudesta palauttaa matriisi sen maksimijärjestyksen minoreista rivien lineaarimuunnokseen asti. $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$

Esimerkki

Tapauksessa ja meillä on , ja siksi jokaisella 4-ulotteisen vektoriavaruuden tasolla on Plücker-koordinaatit: , , , , , . Valitsemalla perusteella tasossa siten, että ja , Saamme matriisin $n = 4$ $m = 2$ $C_{4}^{2}=6$ $M$ $6$ $p_{12}$ $p_{13}$ ${\displaystyle p_{14))$ $p_{23}$ $p_{24}$ $p_{34}$ $M$ $a_{1},\;a_{2}$ $a_{1}=e_{1}$ $a_{2}=e_{2}$

A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix)),

mistä löydämme:

p_{12}=1

, , , , , .

p_{13}=\gamma

p_{14}=\delta

p_{23}=-\alpha

p_{24}=-\beta

p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma

Ilmeisesti on olemassa suhde

p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0

joka säilyy, kun kaikki kerrotaan millä tahansa yhteisellä tekijällä, eli se ei riipu perustan valinnasta. Tämä on Plücker-relaatio, joka määrittelee projektiivisen neliön 5-ulotteisessa projektioavaruudessa. $p_{i_{1}i_{2))$ $G(2,\;4)$

Kirjallisuus

Kartan E. Ulkoiset differentiaalijärjestelmät ja niiden geometriset ongelmat. - M . : MSU-kustantamo, 1962.
Zelikin MI Homogeeniset avaruudet ja Riccatin yhtälö variaatiolaskelmassa. - M . : Factorial, 1998.
Hodge V., Pido D. Algebrallisen geometrian menetelmät. - T. 1. - M. : IL, 1954. (Tässä Plückerin koordinaatteja kutsutaan Grassmann-koordinaateiksi).
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - M .: Fizmatlit, 2009.
Casas-Alvero E. Analyyttinen projektiogeometria. - : European Mathematical Society, 2014.