Eulerin vaihdot

Euler - substituutiot ovat substituutioita, jotka pelkistävät muodon , jossa on rationaalinen funktio, integraalit rationaalisten funktioiden integraaleiksi . L. Eulerin ehdotus vuonna 1768 [1] [2] . $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx$ $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$

Vaihtoehdot

Ensimmäinen vaihto

Käytetään kun . Korvataan seuraavaa: $a>0$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm t \pm \sqrt{a}x$

Toinen vaihto

Käytetään kun . Korvataan seuraavaa: $c>0$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm xt \pm \sqrt{c}$

Kolmas vaihto

Sitä käytetään, kun radikaalilausekkeella on kaksi todellista juurta. Korvaus tehdään: , jossa on yksi juurista [1] .
${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t(x-\lambda )$ $\lambda$

Mielenkiintoisia faktoja

Landaun oppilaan A. I. Akhiezerin muistelmien mukaan hän suhtautui erittäin kielteisesti näiden korvausten käyttöön:

<...> hän [Landau] ehdotti, että lasken <...> rationaalisen murtoluvun integraalin. <...> Laskin käyttämättä tavallisia Euler-korvauksia, ja tämä pelasti minut, koska kuten myöhemmin ymmärsin, Landau ei sietänyt niitä ja uskoi, että joka kerta oli tarpeen käyttää jotain keinotekoista temppua, joka tosiasia, tein.

- Muistoja L. D. Landausta [3]

Muistiinpanot

↑ 1 2 Euler-korvaus // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M .: Soviet Encyclopedia , 1978. - T. 29: Chagan - Aix-les-Bains. - S. 575. - 632 000 kappaletta.
↑ Kirjailija Leonhardo Eulero. Institutionum calculi integralis . - Petropolis , 1768. - Voi. 1. - s. 57-61.
↑ Muistoja L. D. Landausta / Toim. toim. akad. I. M. Khalatnikov. — Antologia. — M .: Nauka , 1988. — S. 49 . — 354 s. — 23 100 kappaletta. - ISBN 5-02-000091-4 .

Linkit

I. M. Vinogradov. Euler-substituutio // Mathematical Encyclopedia. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)
Esimerkki Euler-substituutioiden käytöstä PlanetMathissa