Polynumerot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. marraskuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Polylukujen algebra toteutetaan muodon elementeillä : $P_{n}$ $A\in P_{n}$

A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},

jossa a on joukko generaattoreita, jotka noudattavat seuraavia kertolaskusääntöjä (kertominen on kommutatiivista ja assosiatiivista): $A_{i}\in \mathbb {R} ,$ $e_{i}$ $P_{n}$

e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},

ja itse on seuraava objekti ( suora summa ):

P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R } } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.

Polynumerot (n-numerot)

On helppo tarkistaa, että kertominen polylukujen algebrassa valitussa kannassa pelkistyy vastaavien komponenttien kertolaskuksi ja jako määritellään vain polyluvuille, joilla on kaikki (tästä syystä polyluvut eivät muodosta lukukenttää ) . Algebrallisella yksiköllä on seuraava esitys valitussa perustassa: $A_{i}\neq 0$

{\displaystyle I=e_{1}+\dots +e_{n))

Algebrassa on n-1 kompleksista konjugaatiooperaatiota . Yksi niistä voidaan määrittää seuraavalla säännöllä: $P_{n}$

A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\pisteet +A_{n-1}e_{n},

joka pelkistyy polyluvun komponenttien sykliseksi permutaatioksi . k - nen kompleksinen konjugaatio voidaan määritellä kaavalla : $A$

A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad

( - kertaa)

k

Se on selvää $A^{(n)}=A.$

Harkitse muodon polylukua

N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},

(yksi)

missä . $A\in P_{n}$

On helppo tarkistaa, että se on totta siinä mielessä $N(A)$

N(A)=r^{n}I,

missä .

r^{n}\in R

Lukua kutsutaan polyluvun (quasi)normiksi . Kvasinormi ilmaistaan polyluvun koordinaatteina kaavalla : $r$ $A$ $r$ $A$

r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\pisteet ,A)

, (2)

missä on n-muoto $G$

G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\oikea)

, (3)

${\näyttötyyli {\hattu {S))}$ on symmetrisointioperaattori. Tämä lomake on (Finsler) metriikka Berwald-Moor-avaruuksissa . Kaavat (1)-(3) selventävät polylukualgebran ja Berwald-Moor-avaruuksien välistä yhteyttä: metrisen n-muodon (3) indusoi todellinen algebrallinen muoto , joka on euklidisen neliulotteisen muodon moniulotteinen analogi . monimutkainen taso $N(A)$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast ))$ .

Analogisesti kompleksisen bilineaarisen muodon kanssa:

(\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )

jossa , voimme harkita n - lineaarista muotoa $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$

(A,B,\pisteet ,Z)={\teksti{Re}}(AB\pisteet Z)=\summa \limits _{\sigma (A,B,\pisteet ,Z)}AB^{ (1)}C^{(2)}\pisteet Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\pisteet },Z).\quad

(neljä)

Tässä summaus suoritetaan kaikkien elementtien permutaatioiden joukolle . Viimeinen yhtäläisyysmerkki kohdassa (4) (se määritetään suoralla todennuksella) paljastaa myös geneettisen yhteyden polylukujen algebroiden ja vastaavien Berwald-Moor-avaruuksien geometrioiden välillä. $\sigma (A,B,{\pisteet },Z)$ ${\näyttötyyli A,B,{\pisteet },Z\in P_{n))$

Yllä kuvattu polylukualgebra voidaan osoittaa olevan reaalilukualgebran esiintymien suora summa . Kaikista assosiatiivis-kommutatiivisista algebroista se on tietyssä mielessä maksimaalisesti symmetrinen (sisältää hyperbolisia imaginaariyksiköitä). Yleisempi konstruktio on polylukualgebra , joka on suora summa reaalilukujen algebran ja kompleksilukujen algebran ilmentymistä [1] . $P_{n}$ $n$ $\mathbb {R}$ $n$ $P_{n,m},$ $n$ $\mathbb {R}$ $m$ $\mathbb {C}$

Muistiinpanot

↑ G. I. Garasko, Finsler-geometrian perusteet fyysikoille, M.: Tetru, 2009.

Kirjallisuus

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. hyperkompleksiluvut. M.: Nauka, 1973, s. 138-140
M. A. Lavrentiev, B. O. Shabat. Hydrodynamiikan ongelmat ja niiden matemaattiset mallit. Moskova: Nauka, 1977.
G. I. Garasko. Finsler-geometrian perusteet fyysikoille. M.: Tetra, 2009.
S. S. Kokarev . Luentoja Finslerin geometriasta ja hyperkompleksiluvuista. lauantaina RNEC:n tieteelliset teokset "Logos", voi. 5, Jaroslavl (2010), s. 19-121