Täysi tekijäkoe

Täysi tekijäkoe (FFE) - joukko useita mittauksia , jotka täyttävät seuraavat ehdot:

Mittausten lukumäärä on 2 n , missä n on tekijöiden lukumäärä ;
Jokainen tekijä ottaa vain kaksi arvoa - ylemmän ja alemman;
Mittauksen aikana tekijöiden ylä- ja alaarvot yhdistetään kaikissa mahdollisissa yhdistelmissä.

Täydellisen tekijäkokeen edut ovat

yhtälöjärjestelmän helppous ratkaista parametrien estimointia varten ;
tilastollinen redundanssi mittausten lukumäärässä, mikä vähentää yksittäisten mittausvirheiden vaikutusta parametrien estimointiin.

Alkuvaiheet

Järjestelmäparametrien arviointi

Käytännössä on usein tarpeen arvioida tietyn järjestelmän parametrit, eli rakentaa sen matemaattinen malli ja löytää tämän mallin parametrien numeeriset arvot. Lähtötiedot mallin rakentamiseen ovat tulokset kokeesta , joka on kokoelma useista tietyn suunnitelman mukaan suoritetuista mittauksista. Yksinkertaisimmassa tapauksessa suunnitelma on kuvaus mittausolosuhteista, eli syöttöparametrien (tekijöiden) arvoista mittauksen aikana.

Esimerkkinä järjestelmistä, joiden parametrien estimointi on käytännön kannalta merkityksellistä, voivat toimia erilaiset teknologiset prosessit. Havainnollistaaksesi valolitografiaprosessia.

Fotolitografia on kuvion levittämistä pintaan valokuvausmenetelmällä. Se koostuu seuraavista vaiheista: pinnan valmistelu, valoherkän emulsion ( valoresistin ) levittäminen, kuivaus, negatiivikuviolla varustetun stensiilin tai levyn asennus, altistuminen (valaistus) ultraviolettisäteillä, etsaus (kehitys). Koska fotolitografian teknologiset hienovaraisuudet eivät ole tärkeitä tässä yhteydessä, pidämme valoherkän emulsion paksuutta d (mikroneina) ja valotusaikaa t (sekunteina) tärkeimpinä litografiaprosessiin vaikuttavina tekijöinä. Prosessin lähtöparametri (vaste) on sen resoluutio R eli maksimimäärä erotettavissa olevia viivoja, jotka voidaan piirtää yhdelle millimetrille pintaa. Tämä arvo määritetään käyttämällä erityistä testikuvaa pintaan.

Joten fotolitografian teknologinen prosessi kuvataan jollakin muodon funktiolla

{\näyttötyyli \ R=f(d,t).}

Teknologisen prosessin mallin rakentamisen avulla voit tunnistaa järjestelmän vasteen käyttäytymisen tekijöiden muutoksesta riippuen ja löytää siten tapoja optimoida tekniikkaa. Valitse tässä tapauksessa emulsion paksuus ja valotusaika, jotka tarjoavat parhaan kuvanlaadun.

Yleisessä tapauksessa järjestelmän vastetta kuvaa jokin muuttujien funktio $n$

\ y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Järjestelmän matemaattinen malli saadaan tämän funktion approksimaatiolla jollain toisella, esimerkiksi lineaarisella funktiolla.

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n))

missä ovat halutut malliparametrit. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n))$

Kuva esittää graafisesti fotolitografiaprosessin lineaarisen mallin rakentamisprosessia, jossa on emulsiokalvon paksuus, valotusaika, on tietyissä olosuhteissa saatu resoluutio. Funktio on epälineaarinen, mutta riittävän lähellä pistettä , se voidaan korvata tangenttitasolla . Kuvassa näkyvällä alueella mallin suurin virhe on . $x_{1}$ $x_{2}$ $y$ $y=f(x_{1},x_{2})$ $A_0$ ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))$ $\Delta y$

Mallin kertoimet tuntemalla on mahdollista ennustaa tietyllä tarkkuudella funktion arvo (ja siten järjestelmän käyttäytyminen) pisteen läheisyydessä . Kokeen tarkoituksena on määrittää kertoimien arvot . ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$ $A_0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$

Experiment Matrix

Oletetaan, että teknologisen prosessin alkuparametrit ovat: kalvon paksuus 55 mikronia, valotusaika - 30 s, eli

\ x_{1C}=55;\quad x_{2C}=30.

Otetaan molempien tekijöiden ylä- ja alaarvot siten, että ne sijaitsevat symmetrisesti nykyisen arvon suhteen, esim.

\ x_{1B}=60;\quad x_{2B}=35;

\ x_{1H}=50;\quad x_{2H}=25;

Tehdään taulukko, jossa molempien tekijöiden arvot ovat kaikissa mahdollisissa yhdistelmissä ja tehdään mittaukset näistä pisteistä (vastearvot annetaan ehdollisesti):

{\begin{array}{|c|c||c|}\hline x_{1}&x_{2}&y\\\hline 50&25&140\\50&35&210\\60&25&170\\60&35&220\\\hline \end {array}}

Olettaen, että prosessin lineaarisella mallilla on muoto

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

Saatujen tulosten perusteella voidaan koota neljän yhtälön järjestelmä kahdella muuttujalla. Tämä järjestelmä on esitetty alla, samoin kuin sen lyhennetty merkintä matriisin muodossa. Kutsutaan tämän tyyppistä matriisia kokeilumatriisiksi .

{\begin{cases}a_{0}+50a_{1}+25a_{2}=140\\a_{0}+50a_{1}+35a_{2}=210\\a_{0}+ 60a_{1}+25a_{2}=170\\a_{0}+60a_{1}+35a_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c} x_{0}&x_{1}&x_{2}&y\\\hline 1&50&25&140\\1&50&35&210\\1&60&25&170\\1&60&35&220\end{array}}\right).

Kokeen matriisissa toinen ja kolmas sarake ovat tekijöiden arvoja, neljäs sarake on järjestelmän vasteen arvot ja ensimmäinen sarake sisältää yksiköt, jotka vastaavat vapaan termin yksikkökertoimia. malli . Pidämme tätä saraketta virtuaalisena tekijänä , joka ottaa aina yksittäisiä arvoja. $a_{0}$ $x_{0}$

Järjestelmän ratkaisu

Järjestelmän ratkaisun helpottamiseksi normalisoimme tekijät. Määritämme tekijöiden ylemmille arvoille normalisoidun arvon +1, alemmille arvoille normalisoidun arvon -1, keskiarvolle normalisoidun arvon 0. Yleensä tekijän normalisointi ilmaistaan kaavalla

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2(x_{i}-x_{iC})}{x_{iB}-x_{iH}}}={\frac {2x_ {i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}}.

Ottaen huomioon tekijöiden normalisoinnin, yhtälöjärjestelmä ja kokeen matriisi ovat seuraavanlaisia:

{\begin{cases}{\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=140\\{\ tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}+{\tilde {a}}_{2}=210\\{\tilde {a}}_{0}+{ \tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=170\\{\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}+ {\tilde {a))_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c}{\tilde {x))_{0}&{\tilde { x}}_{1}&{\tilde {x}}_{2}&y\\\hline +1&-1&-1&140\\+1&-1&+1&210\\+1&+1&-1&170\\+1& +1&+1&220\end{array}}\right).

Koska matriisin toisen ja kolmannen sarakkeen termien summa on nolla, mallin leikkauspiste voidaan löytää lisäämällä kaikki neljä yhtälöä:

4\ {\tilde {a}}_{0}=140+210+170+220=740;

{\tilde {a}}_{0}=185.

Jos haluat löytää minkä tahansa mallin muun kertoimen, sinun on muutettava yhtälöiden merkit siten, että vastaavassa sarakkeessa on vain yksi, ja lisää sitten kaikki neljä yhtälöä:

4\ {\tilde {a}}_{1}=-140-210+170+220=40;

{\tilde {a}}_{1}=10.

4\ {\tilde {a}}_{2}=-140+210-170+220=120;

{\tilde {a}}_{2}=30.

Siten pisteen (55, 30) läheisyydessä olevan teknologisen prosessin lineaarisella mallilla on muoto

\ y=185+10{\tilde {x}}_{1}+30{\tilde {x}}_{2}.

Yleisesti ottaen järjestelmän ratkaisu näyttää

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}

Palaa normalisoimattomiin tekijöihin

Siirtyminen normalisoiduista tekijöistä normalisoimattomiin tapahtuu käänteismuunnoksen avulla

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{x}_{iC}={ \tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+x_{iH}}{2}}.

Normalisoimattomien koordinaattien malliparametrien löytämiseksi korvaamme normalisoitujen koordinaattien lausekkeet mallin yhtälössä:

\ y={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\tilde {x}}_{1}+{\tilde {a}}_{ 2}{\tilde {x}}_{2}=

\ ={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\frac {2(x_{1}-x_{1C})}{x_{1B} -x_{1H))}+{\tilde {a}}_{2}{\frac {2(x_{2}-x_{2C})}{x_{2B}-x_{2H}}}=

\={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {2x_{1C}}{x_{1B}-x_{1H}}}- {\tilde {a}}_{2}{\frac {2x_{2C}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\tilde {a}}_{1}} {x_{1B}-x_{1H}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}}x_{2} =

\ ={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B}-x_{ 1H}}}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\ tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}- x_{2H}}}x_{2}.

Viimeisen lausekkeen vertaaminen lineaarisen mallin lausekkeeseen normalisoimattomissa koordinaateissa

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

saamme lausekkeet malliparametreille:

\ a_{0}={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B }-x_{1H))}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}};

\ a_{1}={\frac {2{\tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}};

\ a_{2}={\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}};

Yleisesti

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

$a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}.$

Yllä olevaan esimerkkiin

\ a_{0}=185-10\cdot {\frac {60+50}{60-50}}-30\cdot {\frac {35+25}{35-25}}=-105;

\ a_{1}={\frac {2\cdot 10}{60-50}}=2;

\ a_{2}={\frac {2\cdot 30}{35-25}}=6.

Lopuksi saamme mallin luonnollisissa koordinaateissa:

{\displaystyle \ y=-105+2x_{1}+6x_{2))

Täysi tekijäkoe

PFE-matriisi yleisessä muodossa

Yleensä n:n tekijän täyden tekijäkokeen matriisilla on muoto

\left({\begin{array}{cccc | c}{\tilde {x}}_{0}&{\tilde {x}}_{1}&...&{\tilde {x }}_{n}&y\\\hline +1&-1&...&-1&y_{1}\\+1&-1&...&+1&y_{2}\\...&...&. ..&...&...\\+1&+1&...&+1&y_{2^{n}}\end{array}}\right).

PFE-matriisin ominaisuudet

PFE-matriisilla on seuraavat ominaisuudet:

Matriisin rivien lukumäärä on 2 n ;
Matriisin nollasarake koostuu ykkösistä:

{\tilde {x}}_{0i}=1;

Sarakkeet 1… n sisältävät kaikki mahdolliset 2 n yhdistelmää arvoista -1 ja +1;
Viimeinen sarake sisältää mittaustulokset, jotka on saatu sarakkeiden 1… n vastaaville riveille kirjatuilla tekijöiden arvoilla .
Nollasarakkeen elementtien summa on aina yhtä suuri kuin 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{0i}=2^{n};

Minkä tahansa sarakkeen elementtien summa nollaa ja viimeistä lukuun ottamatta on yhtä suuri kuin nolla:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=0\qquad (k=1...n);

Kaksi viimeistä lauseketta voidaan yhdistää yhdeksi suhteeksi:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=2^{n}\delta _{k0}\qquad (k=0.. .n),

missä on identiteettimatriisi, ; $\delta _{{ij}}$ ${\näyttötyyli (i,j=0...n)}$

Minkä tahansa (paitsi viimeisen) sarakkeen alkioiden neliöiden summa on aina yhtä suuri kuin 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}^{2}=2^{n}\qquad (k=0...n );

Minkä tahansa kahden sarakkeen (lukuun ottamatta viimeistä) vastaavien elementtien tulojen summa on nolla:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=0\qquad (k,m= 0...n;k\neq m);

Kaksi viimeistä lauseketta voidaan kirjoittaa matriisin sarakkeiden ortogonaalisuuteen:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=2^{n}\delta _ {km}\qquad(k,m=0...n);

Lineaarisen mallin kertoimien laskenta

Lineaarisen mallin kertoimet normalisoiduissa koordinaateissa lasketaan kaavoilla:

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}\qquad (k=0...n);

Lineaarisen mallin kertoimet luonnollisissa (normalisoimattomissa) koordinaateissa lasketaan kaavoilla:

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}\qquad (k=1...n).

Luonnollisten tekijöiden muuntaminen normalisoiduiksi ja päinvastoin

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2x_{i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+ x_{iH}}{2}}.

Katso myös

Kokeilun suunnittelu

Lähteet

Rakennusmallit ja sähköisten välineiden rajatestaus: Menetelmä. ohjeet / komp. A. N. Žirabok, V. N. Lyakhov. - Vladivostok: Far Eastern State Technical Universityn kustantamo, 2006. - 32 s.

Adler Yu. P., Markova EV, Granovsky Yu. V. Kokeen suunnittelu optimaalisten olosuhteiden etsimiseksi. - M .: Nauka, 1976. - 279 s., ill.

Montgomery D.K. Kokeellinen suunnittelu ja data-analyysi: Per. englannista. - L .: Laivanrakennus, 1980. - 384 s., ill.