Seminorm

Puolinormi tai esinormi on yleistys normin käsitteestä ; Toisin kuin jälkimmäinen, puolinormi voi kadota avaruuden nollasta poikkeavilla elementeillä.

Määritelmä

Puolinormi on ei-negatiivinen funktio , joka on lineaarisessa avaruudessa reaali- tai kompleksilukujen kentän päällä ja joka täyttää seuraavat ehdot: $p\kaksoispiste L \to\R$ $L$

Absoluuttinen yhdenmukaisuus : mille tahansa skalaarille $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ $\alpha$
Kolmion epätasa-arvo : kaikille $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ $x, y \ in L$

Avaruutta kutsutaan puolinormoiduksi avaruuteen . ${(L,\;p)}$

Ominaisuudet

$p(0) = 0$

Tämä ominaisuus seuraa määritelmän ja tasa-arvon ensimmäisestä ehdosta , jossa ensimmäinen nolla kuuluu reaali- tai kompleksilukujen kenttään ja toinen ja kolmas kuuluvat avaruuteen :

0_{\R} \cdot 0_L = 0_L

L

p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R

(missä seuraa lineaarisuudesta )

0_L = 0_\R\cdot 0_L

L

$p(x)=p(-x)$

Tämä ominaisuus on myös saatu ensimmäisestä ehdosta osoitteessa .

\alpha = -1

$p(x) \geqslant 0$

Jos oletamme sellaisen olemassaolon, että , niin määritelmän ensimmäisestä ehdosta seuraa, että ja . Käyttämällä toista ehtoa saamme ristiriidan ensimmäisen ominaisuuden kanssa.

x^{*}

p(x^*) < 0

p(-x^*) < 0

p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0

Kirjallisuus

Rudin W. Funktionaalinen analyysi, käänn. englannista, - M. , 1975.