Tilaustilastot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Matemaattisten tilastojen järjestystilastot ovat tasaisesti jakautuneita riippumattomia satunnaismuuttujia ja sen elementtejä, jotka ovat tiukasti määritellyn paikan vaihteluvälissä.

Määritelmä

Olkoon äärellinen näyte jossain todennäköisyysavaruudessa määritellystä jakaumasta . Anna ja . Numeroimme sekvenssin uudelleen ei-laskevaan järjestykseen, jotta $X_{1},\ldots,X_{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $\omega \in \Omega$ $x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n))$

{\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)))

Tätä sarjaa kutsutaan muunnelmasarjaksi . Variaatiosarja ja sen termit ovat tilaustilastoja. Satunnaismuuttujaa kutsutaan alkuperäisen otoksen -:nnen kertaluvun tilastoksi [1] . Tilaustilastot ovat ei-parametristen menetelmien perusta. ${\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)))$ $k$

Muistiinpanot

Ilmeisesti määritelmästä:

$X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ;
$X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ .

Tilaustilastot ehdottoman jatkuvasta jakelusta

Olkoon riippumaton näyte absoluuttisesti jatkuvasta jakaumasta , joka annetaan jakautumistiheydellä ja jakaumafunktiolla . Tällöin tilaustilastoilla on myös ehdottoman jatkuvat jakaumat ja niiden jakautumistiheydet ovat muotoa [2] : $X_{1},\ldots,X_{n}$ $f_{X}$ $F_{X}$

f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1 [1-F_{X}(x)]^{nk}f_{X}(x)

Satunnaisvektori , jossa on myös ehdottoman jatkuva jakauma ja yhteisjakauman tiheys on muotoa: $\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }$ $1\leq j<k\leq n$

f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{( j-1)!(kj-1)!(nk)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X }(x_{j})]^{kj-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{nk}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k }),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.

Esimerkki

Olkoon näyte vakiosta jatkuvasta tasajakaumasta . Sitten $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]$

$f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(nk)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{ nk},\quad u\in [0,1]$ ,

eli missä on beeta-jakauma ; $U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)$ $\mathrm {B}$

$f_{U_{(j)},U_{(k)))(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(kj-1) !(nk)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{kj-1}[1-u_{k}]^{nk},\quad j <k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1$ ;
$f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\ leq \cdots \leq u_{n}\leq 1$ .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Matemaattinen tietosanakirja . - M . : "Pöllöt. tietosanakirja" , 1988. - S. 847 .
↑ Proof arkistoitu 27. helmikuuta 2012 Wayback Machinessa , s. 12, h. 1.18