Rajoita suodatinta pitkin

Suodattimen raja ( raja suodattimen perusteella, raja pohjassa ) on yleistys rajan käsitteestä .

Suodattimen määritelmä

Olkoon joukko annettu Ei-tyhjiä joukon osajoukkojen järjestelmää kutsutaan joukon suodatuskantaksi (kantaiseksi), jos $x.$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$

mille tahansa $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\neq \varnothing ;$
sillä sellaista on olemassa $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B))$ $B_{3}\in {\mathfrak {B))$ $B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}.$

Rajan määritelmä

Kaikkialla alla on joukon suodatinperusta (kanta) . ${\mathfrak B}$ $X$

Numeerisen funktion raja

Anna . Lukua kutsutaan funktion kantarajaksi if $f:X \to \mathbb{R}$ $A\in \mathbb {R}$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

jokaiselle on olemassa sellainen, että kaikille epätasa-arvo

\varepsilon > 0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

|f(x)-A|<\varepsilon .

Perusrajan merkintä: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=A.$

Funktion raja, jonka arvot ovat metriavaruudessa

Antaa olla metrinen tila ja . Pistettä kutsutaan funktion rajaksi kantaan, jos $(M,\rho)$ $f:X\to M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

jokaiselle on olemassa sellainen, että kaikille epätasa-arvo

\varepsilon > 0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

\rho (f(x),a)<\varepsilon .

Nimitys: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Funktio, jonka arvot ovat topologisessa avaruudessa

Antaa olla topologinen tila ja . Pistettä kutsutaan funktion rajaksi kantaan, jos ${\näyttötyyli (M,{\mathcal {T))}$ $f\colon X\to M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

jokaiselle pisteen ympäristölle on olemassa sellainen, että ts. sisällyttäminen pätee kaikille .

V

a

B\in {\mathfrak {B}}

f(B)\subset V

x\in B

f(x)\in V

Nimitys: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Kommentti. Viimeinen "tasa-arvo" on oikein käytettävä vain tapauksissa, joissa tila on Hausdorff . Ei-Hausdorff-avaruuden arvoilla olevan funktion raja voi olla useita eri pisteitä kerralla (ja siten raja-yleisyyslausetta rikotaan). ${\näyttötyyli (M,{\mathcal {T))}$

Esimerkkejä

Tavallinen raja

Antaa olla topologinen avaruus , ja Olkoon sitten joukkojen järjestelmä $(X,{\mathcal {T}})$ $M\subset X.$ $a \ in M'.$

{\mathfrak {B}}=\left\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal { T}}\oikea\}

on joukon suodattimen perusta ja sitä merkitään tai yksinkertaisesti . Joukkon kantaa ylittävän funktion rajaa kutsutaan funktion rajaksi pisteessä ja sitä merkitään . $M$ $M\ni x\to a$ $x\to a.$ $x\to a$ $M$ $a$ $\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Yksipuoliset rajat

Anna ja Sitten asetettu järjestelmä $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (a,\infty ){\bigr )}'.$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\))

on suodattimen perusta ja sitä merkitään tai Rajaa kutsutaan funktion oikeanpuoleiseksi rajaksi, joka pyrkii $x\to a+$ $x\to a+0.$ $\lim \limits _{x\to a+}f(x)$ $f$ $x$ $a.$

Anna ja Sitten asetettu järjestelmä $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (-\infty ,a){\bigr )}'.$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\))

on suodattimen perusta ja sitä merkitään tai Rajaa kutsutaan funktion vasemmanpuoleiseksi rajaksi, joka pyrkii $x\to a-$ $x\to a-0.$ $\lim \limits _{x\to a-}f(x)$ $f$ $x$ $a.$

Rajat äärettömässä

Anna ja Sitten asetettu järjestelmä $M\subset {\mathbb {R}),$ $\sup M=\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.

on suodattimen perusta ja sitä merkitään tai Rajaa kutsutaan funktion rajaksi, koska se pyrkii äärettömyyteen. $x\to \infty$ $x\to +\infty .$ $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)$ $f$ $x$

Anna ja Sitten asetettu järjestelmä $M\subset {\mathbb {R}),$ $\inf M=-\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty ,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.

on suodattimen perusta ja sitä merkitään . Rajaa kutsutaan funktion rajaksi, joka pyrkii miinus-äärettömyyteen. $x\to -\infty .$ $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)$ $f$ $x$

Sekvenssirajoitus

Aseta järjestelmä missä ${\mathfrak {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty },$

B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,

on suodattimen perusta ja sitä merkitään Funktiota kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi, ja raja on tämän sekvenssin raja. $n\to \infty .$ $n\in \mathbb {N} \mapsto f_{n}\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n))$

Riemannin integraali

Olkoon Kutsumme pistejoukkoa segmentin nimetyksi osioksi . Kutsumme osion halkaisijaa numeroksi. Sitten joukkojärjestelmä $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ $[a,b]$ $T=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b,\;x_{n-1}\leqslant \xi _{ n}\leqslant x_{n}\;n\in \mathbb {N} \}.$ $T$ $d(T)=\max \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(x_{i}-x_{i-1}).$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{T\mid d(T)<\delta ,\delta >0\))

on suodattimen perusta kaikkien merkittyjen osioiden avaruudessa. Määrittelemme funktion yhtälöllä ${\mathfrak {T}}$ ${\näyttötyyli [a,b].}$ $S_{f}:{\mathfrak {T}}\to \mathbb {R}$

S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})\quad T \in {\mathfrak {T}.

Silloin rajaa kutsutaan intervallin funktion Riemannnin integraaliksi $\lim \limits _{\mathfrak {B}}S_{f}(T)$ $f$ ${\näyttötyyli [a,b].}$

Kirjallisuus

Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi (kahdessa osassa), - M . : Higher school, vol. II - 584 s. – 1981.