Rajoita suodatinta pitkin

Suodattimen raja ( raja suodattimen perusteella, raja pohjassa ) on yleistys rajan käsitteestä .

Suodattimen määritelmä

Olkoon joukko annettu Ei-tyhjiä joukon osajoukkojen järjestelmää kutsutaan joukon suodatuskantaksi (kantaiseksi), jos

Rajan määritelmä

Kaikkialla alla  on joukon suodatinperusta (kanta) .

Numeerisen funktion raja

Anna . Lukua kutsutaan funktion kantarajaksi if

jokaiselle on olemassa sellainen, että kaikille epätasa-arvo

Perusrajan merkintä:

Funktion raja, jonka arvot ovat metriavaruudessa

Antaa olla  metrinen tila ja . Pistettä kutsutaan funktion rajaksi kantaan, jos

jokaiselle on olemassa sellainen, että kaikille epätasa-arvo

Nimitys:

Funktio, jonka arvot ovat topologisessa avaruudessa

Antaa olla  topologinen tila ja . Pistettä kutsutaan funktion rajaksi kantaan, jos

jokaiselle pisteen ympäristölle on olemassa sellainen, että ts. sisällyttäminen pätee kaikille .

Nimitys:

Kommentti. Viimeinen "tasa-arvo" on oikein käytettävä vain tapauksissa, joissa tila  on Hausdorff . Ei-Hausdorff-avaruuden arvoilla olevan funktion raja voi olla useita eri pisteitä kerralla (ja siten raja-yleisyyslausetta rikotaan).

Esimerkkejä

Tavallinen raja

Antaa olla  topologinen avaruus , ja Olkoon sitten joukkojen järjestelmä

on joukon suodattimen perusta ja sitä merkitään tai yksinkertaisesti . Joukkon kantaa ylittävän funktion rajaa kutsutaan funktion rajaksi pisteessä ja sitä merkitään .

Yksipuoliset rajat

on suodattimen perusta ja sitä merkitään tai Rajaa kutsutaan funktion oikeanpuoleiseksi rajaksi, joka pyrkii

on suodattimen perusta ja sitä merkitään tai Rajaa kutsutaan funktion vasemmanpuoleiseksi rajaksi, joka pyrkii

Rajat äärettömässä

on suodattimen perusta ja sitä merkitään tai Rajaa kutsutaan funktion rajaksi, koska se pyrkii äärettömyyteen.

on suodattimen perusta ja sitä merkitään . Rajaa kutsutaan funktion rajaksi, joka pyrkii miinus-äärettömyyteen.

Sekvenssirajoitus

Aseta järjestelmä missä

on suodattimen perusta ja sitä merkitään Funktiota kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi, ja raja on tämän sekvenssin raja.

Riemannin integraali

Olkoon Kutsumme pistejoukkoa segmentin nimetyksi osioksi . Kutsumme osion halkaisijaa numeroksi. Sitten joukkojärjestelmä

on suodattimen perusta kaikkien merkittyjen osioiden avaruudessa. Määrittelemme funktion yhtälöllä

Silloin rajaa kutsutaan intervallin funktion Riemannnin integraaliksi

Kirjallisuus