Pareto-jakelu

Pareto-jakelu
$x_{\text{m}}=1$ Todennäköisyystiheys
$x_{\text{m}}=1$ jakelutoiminto
Nimitys	$P(k,x_{\text{m)))$
Vaihtoehdot	$x_{\text{m}}>0$ - mittakaavatekijä $k>0$
Kuljettaja	$x\in [x_{\text{m));+\infty )$
Todennäköisyystiheys	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$
jakelutoiminto	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$
Odotettu arvo	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , jos $k>1$
Mediaani	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$
Muoti	$x_{\text{m))$
Dispersio	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ klo $k>2$
Epäsymmetriakerroin	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ klo $k>3$
Kurtoosikerroin	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ klo $k>4$
Differentiaalinen entropia	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$
Hetkien funktion luominen	ei määritetty
ominaista toimintoa	$k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+{}$ ${\displaystyle {}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$

Pareto-jakauma todennäköisyysteoriassa on kahden parametrin perhe ehdottoman jatkuvia jakaumia , jotka ovat potenssilakia. Sitä kutsutaan nimellä Wilfredo Pareto . Esiintyy tutkittaessa erilaisia ilmiöitä, erityisesti sosiaalisia, taloudellisia ja fyysisiä [1] . Taloustieteen alan ulkopuolella sitä kutsutaan joskus myös Bradford-jakeluksi.

Määritelmä

Olkoon satunnaismuuttuja sellainen, että sen jakauman antaa yhtälö $X$

F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \ kaikille x\geqslant x_{\text{m)),

missä . Sitten sanomme, että sillä on Pareto-jakauma parametreilla ja . Pareton jakauman tiheydellä on muoto $x_{\text{m)),k>0$ $X$ $x_{\text{m))$ $k$

f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\ \[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}

Moments

Satunnaismuuttujan , jolla on Pareto-jakauma, hetket saadaan kaavalla

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{kn}},

mistä erityisesti

\mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1)),

\mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.

Sovellukset

Vilfredo Pareto käytti tätä jakaumaa alun perin kuvaamaan varallisuuden ja tulonjakoa [2] . Hänen "20-80 sääntönsä" (jossa sanotaan: 20 % väestöstä omistaa 80 % varallisuudesta) riippuu kuitenkin arvosta , ja väitetään, että tosiasiassa on merkittäviä määrällisiä poikkeamia, esimerkiksi Pareton tiedot Britannian teoksessa "The Course of Political Economy" sanotaan, että siellä noin 30 % väestöstä omistaa 70 % kokonaistuloista. $k$

Pareto-jakauma ei löydy vain taloustieteestä. Seuraavat esimerkit voidaan antaa:

Kielitieteessä Pareton jakauma tunnetaan Zipfin laina (eri kielillä eksponentti voi vaihdella hieman, yleisimmillä sanoilla on myös pieni poikkeama yksinkertaisesta potenssilaista , mutta yleisesti potenssilaki kuvaa tätä jakaumaa varsin hyvin hyvin). Tämän mallin erityisiä ilmentymiä voidaan harkita:
- Sanojen absoluuttisen frekvenssin (kuinka monta kertaa kukin tietty sana esiintyi) riippuvuus riittävän pitkän tekstin arvosta (sarjanumero järjestettäessä sanoja absoluuttisen frekvenssin mukaan). Tehomerkki säilyy riippumatta siitä, pelkistetäänkö sanat alkumuotoon vai otetaanko tekstistä sellaisenaan.
- Samanlainen käyrä nimien suosiolle.
Asutuksen koon jakautuminen [3] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Guerriero, V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics // Journal of Modern Mathematics Frontier ( JMMF). - 2012. - Vol. 1 , ei. 1 . - s. 21-28 . Arkistoitu alkuperäisestä 5. joulukuuta 2013.
↑ Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino , Librairie Droz, Geneve, 1964, sivut 299-345.
↑ Reed, WJ , Jorgensen, M. Kaksinkertainen pareto-lognormaali jakautuminen – uusi parametrimalli kokojakaumille // Tietoliikenne tilastoissa: teoria ja menetelmät. - 2004. - Voi. 33 , iss. 8 . - P. 1733-1753 . - doi : 10.1081/STA-120037438 .

Kirjallisuus

Artyukhov VV Tehokkuus // Yleinen järjestelmäteoria: Itseorganisaatio, vakaus, monimuotoisuus, kriisit. - M . : Kirjatalo "LIBROKOM", 2009. - S. 60-68. — 224 s. - ISBN 978-5-397-00855-6 .

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula