Itse luodut luvut ovat lukuja, joita ei voida saada lisäämällä jokin muu luku, jota kutsutaan generaattoriksi, sen numeroiden summaan.
Harkitse menettelyä, jota Kaprekar kutsuu numeroiden yhteenlaskuksi . Valitaan mikä tahansa kokonaisluku ja lisätään siihen sen numeroiden summa. Esimerkiksi jos valitsemme luvun 47, niin sen numeroiden summa on 4 + 7 = 11 ja 47 + 11 = 58. Uutta lukua 58 kutsutaan generoiduksi luvuksi ja alkuperäistä numeroa 47 sen generaattoriksi . Prosessi voidaan toistaa loputtomiin muodostaen sekvenssin, joka syntyy digitaalisella summauksella 47, 58, 71, 79, ...
Ei-rekursiivinen kaava tämän sekvenssin jäsenten osasummalle ei ole tiedossa, mutta kaikkien siinä olevien numeroiden summalle on olemassa yksinkertainen kaava: vähennä ensimmäinen luku viimeisestä ja lisää jonon summa. viimeisen numeron numerot.
Luoduilla numeroilla voi olla useampi kuin yksi generaattori. Pienin useammalla kuin yhdellä generaattorilla varustettu luku (Kaprekar kutsuu tällaisia numeroita yhdisteiksi ) on 101 ja siinä on kaksi generaattoria: 91 ja 100. Pienin yhdistelmäluku kolmella generaattorilla on 10 000 000 000 001 ja se generoidaan luvuilla 10 000 000 000 ja 90 999 991 909 900. 999 999 999 892. Kaprekarin 7. kesäkuuta 1961 löytämässä pienimmässä luvussa, jossa on neljä generaattoria, on 25 numeroa: 10 24 + 102. Näin ollen pienimmät luvut, joissa n=2, 3, ... generaattorit muodostavat sekvenssin:
101, 10000000000001, 1000000000000000000000102, … (sekvenssi A006064 OEIS : ssä )Kaprekar onnistui myös löytämään, kuten hän ehdottaa, pienimmät numeroyhteydet 5 ja 6 generaattorilla.
Itse luotu luku on luku, jolla ei ole generaattoria, Kaprekarin sanoin "se luo itsensä". Itse luotuja lukuja on äärettömän paljon, mutta ne ovat paljon harvinaisempia kuin generoidut luvut. Itse luodut luvut muodostavat sekvenssin:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, … (sekvenssi A003052 OEIS : ssä )Yksinkertaisia itse luotuja lukuja kutsutaan itsealkulukuiksi . Tunnettu "syklinen" luku 142 857 (kerrotettuna luvuilla 1:stä 6:een, saat aina tuotteen, joka on kirjoitettu samalla 6 numerolla, vain järjestettynä sykliseen järjestykseen) kuuluu itse luotujen lukujen määrään. Itse luodut numerot ovat myös sellaisia lukuja kuin 11 111 111 111 111 111 111 ja 3 333 333 333.
Jotkut luvun 10 potenssit ovat itse generoituja. Numeron 10 generoi luku 5, luvun 100 numero 86, 1000 numero 977, 10 000 numero 9968 ja 100 000 numero 99959. 1 000 000 on itse generoitu luku, ja miljoonan kymmenen jälkeinen teho, joka on itse generoitu luku, on 10 16 .
Toistaiseksi ei ole ollut mahdollista löytää ei-rekursiivista kaavaa, jonka avulla voit saada kaikki itse luodut luvut, mutta on olemassa yksinkertainen algoritmi, jonka avulla voit tarkistaa minkä tahansa luvun itseluottamuksen (eli määrittää, onko annettu numero on itse luotu).
Itse luodut luvut kuvaili ensimmäisen kerran vuonna 1949 intialainen matemaatikko D. R. Kaprekar , joka omisti niille useita kirjoja. Pitkään aikaan itse luotuja lukuja ei tunnettu Intian ulkopuolella , kunnes vuonna 1974 niistä ilmestyi artikkeli (eri nimellä) American Mathematical Monthly -lehdessä [ 1] , jossa todistettiin, että on olemassa ääretön. itse luomien numeroiden määrä.
Matematiikalle omistetun " Lastensyklopedian " (Neuvostoliitto) toisessa osassa on artikkeli itse luomista numeroista, joissa niitä kutsutaan "hippunumeroiksi". [2]