Poikkileikkauksen kaarevuus

Leikkauskaarevuus on yksi tapa kuvata Riemannin monistojen kaarevuutta .

Määritelmä

Leikkauskaarevuus on funktio , joka riippuu poikkileikkauksen suunnasta pisteessä (eli kaksiulotteisessa tasossa tangenttiavaruudessa kohdassa ). Se on yhtä suuri kuin eksponentiaalikartoituksen muodostaman pinnan Gaussin kaarevuus mitattuna pisteessä . $K(\sigma )$ $\sigma$ $s$ $s$ $s$

Ominaisuudet

Jos on kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria , Sitten $v,\;u$ $\sigma$ $K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},$ missä $K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$

a tarkoittaa kaarevuusmuutosta .

R(u,\;v)

- Tämä kaava voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti $K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2 }}.$

Seuraava kaava osoittaa, että poikkisuuntainen kaarevuus kuvaa kaarevuustensorin täysin: $6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$ ${\näyttötyyli [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-}$ ${\näyttötyyli [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].}$
- yksinkertaisemmassa muodossa osittaisilla derivaatoilla : $\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.$

Toponogovin vertailulause antaa kolmion kulmille ehdon Riemannin monistossa, joka vastaa sen poikkileikkauksen kaarevuuden rajoitusta jollain vakiolla.