Tensorin symmetrisointi ja antisymmetrisaatio

Tensorin symmetrisointi ja antisymmetrisointi ovat operaatioita, joilla muodostetaan samantyyppinen tensori tietynlaisella symmetrialla. Esimerkiksi tensorin symmetrisaatio on symmetrinen tensori , ja antisymmetrisaatio on antisymmetrinen tensori . $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\yli 2}\vasen(T_{ij}+T_{ji}\oikea)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\yli 2}\vasen(T_{ij}-T_{ji}\oikea)$

Symmetrisointitoiminto :

A_{(m_{1}\ldots m_{k})m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{ q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Summaus suoritetaan kaikilla suluissa olevien indeksien permutaatioilla . Ylempien indeksien symmetrisaatio määritellään samalla tavalla; on mahdollista symmetrisoida vain samantyyppisten indeksien ryhmän yli. Toimintoa voidaan soveltaa myös useiden tensorien tensorituloon (joka on myös tensori). Esimerkkejä: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$

A_{(klm)}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk })

Antisymmetrisoinnin tai vuorottelun toiminta määritellään seuraavasti:

A_{[m_{1}\ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}\operaattorin nimi {sgn} \sigma \cdot A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k} )m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Summaus suoritetaan jälleen kaikilla indeksien permutaatioilla, mutta nyt se on suljettu hakasulkeisiin ja ottaen huomioon permutaation pariteetti . Esimerkkejä: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ $\operaattorin nimi {sgn} \sigma$

A_{[klm]}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk })

;

A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m }-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})

Jotkut kirjoittajat eivät halua kirjoittaa tekijää symmetrisaatio- ja antisymmetrisaatiokaavoihin. Sinun tulee kiinnittää tähän huomiota, koska muita kaavoja muutetaan vastaavasti, mikä voi olla hämmentävää. ${\frac {1}{k!)}}$

Symmetrisaatio- ja antisymmetrisointiominaisuudet

Jos se on symmetrinen, niin symmetrisaatio näiden indeksien suhteen osuu yhteen ja antisymmetrisaatio antaa nollatensorin. Vastaavasti joidenkin indeksien antisymmetrian tapauksessa: antisymmetrisaatio osuu yhteen ja symmetrisaatio antaa nollatensorin. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$ $T$ $T$
Jos sitten Tässä on symmetrinen , ja se on vektoriavaruuksien ulkotuote. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\kiila$