Iversonin kiinnike

Iversonin hakasulke on funktio, joka palauttaa arvon 1, jos lause on tosi , ja 0, jos argumentti on epätosi:

[\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{if }}P{\text{ true}}\\0,&{\text{if }}P{\ teksti{ false}}\end{cases}}

Kenneth Iverson esitteli merkinnän APL - ohjelmointikielelle , ja se osoittautui erittäin käteväksi matemaattiseksi merkinnäksi, jolla voit esimerkiksi määritellä ytimekkäästi:

Kronecker-symboli : , $\delta_{ij} = [\,i=j\,]$
ilmaisintoiminto : , $\mathbf{1}_A(x) = [\,x \in A\,]$
Heaviside-toiminto : , $\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]$
numeromerkkitoiminto : . $\sgn(x) = [\,x >0\,] - [\,x < 0\,]$

Myös merkintä on kätevä käsiteltäessä summia , koska sen avulla voit ilmaista ne ilman summausindeksin rajoituksia, esimerkiksi:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]

eli indeksi kulkee koko kokonaislukujoukon läpi ja ääretön määrä termejä summataan muodollisesti , mutta vain äärellinen määrä niistä eroaa nollasta. $k$ $\mathbb {Z}$

Esimerkki laskutoimituksesta, jossa käytetään Iversonin summamerkintää sekvenssille : ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j))$ $\{a_{i}\}$

[\,i < j\,] + [\,i = j\,] + [\,i >j\,] = 1

\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[ \,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i }a_{j}

S + \sum\limits_{i} a_i^2 + S = \biggl(\sum\limits_{i} a_i \biggr)^2

ja mitä tulee oikeaan puoleen:

{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \ rajat _{i}a_{i}\sum \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2))

sitten:

S = \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j = \frac{1}{2} \biggl(\sum_{i=1}^n a_i \biggr)^2 - \frac{1} {2}\sum_{i=1}^n a_i^2

Kirjallisuus

Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. - M .: Mir, 1998. - 703 s. — ISBN 5-03-001793-3 .
Kenneth E. Iverson. Ohjelmointikieli. - Kalifornian yliopisto: Wiley, 1962. - 286 s. — ISBN 0471430145 .