Lähentymisaste

Konvergenssin nopeus on numeeristen yhtälöiden ratkaisu- ja optimointimenetelmien pääominaisuus .

Lähentymisnopeuden käsite

Olkoon jonkin algoritmin likiarvojen konvergentti sarja yhtälön juuren tai funktion ääripään löytämiseksi , sitten: $\left\{x_{n}\right\}$ $x^{*}$

Menetelmällä sanotaan olevan lineaarinen konvergenssi , jos . $\exists \alpha \in (0,\;1):\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{ *}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||$

Menetelmällä sanotaan olevan astekonvergenssi $\beeta$ , jos . $\exists \alpha \in (0,\;1]:\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{ *}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }$

Huomaa, että menetelmien lähentymisnopeus ei yleensä ylitä neliötä. Harvinaisissa tapauksissa menetelmällä voi olla kuutiokonvergenssinopeus ( Tšebyševin menetelmä ).

Käytännön määritelmä

Olkoon tarkastellun algoritmin likiarvojen sarja jonkin yhtälön juuren löytämiseksi , niin konvergenssinopeus määritetään yhtälöstä: $\left\{x_{n}\right\}$ $x^{*}$ $\beeta$

${\displaystyle ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta ))$

Yksinkertaisuuden vuoksi se on kirjoitettu uudelleen seuraavasti:

$\log ||x_{n}-x^{*}||<\log \alpha +\beta \log ||x_{n-1}-x^{*}||$

Konvergenssin nopeus arvioidaan suoraan logaritmisen riippuvuuden kaltevuuden tangentista . $||x_{n}-x^{*}||$ $||x_{n-1}-x^{*}||$

Aiheeseen liittyvää kirjallisuutta

Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. Laskennalliset menetelmät insinööreille. - M .: Mir, 1998.
Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P. , Kobelkov G. G. Numeeriset menetelmät. - 8. painos - M . : Perustiedon laboratorio, 2000.
Volkov E. A. Numeeriset menetelmät. - M .: Fizmatlit, 2003.