Satunnainen prosessi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Satunnaisprosessi (todennäköisyyslaskenta, satunnaisfunktio, stokastinen prosessi) on todennäköisyysteoriassa satunnaismuuttujien perhe, joka on indeksoitu jollakin parametrilla , useimmiten ajan tai koordinaatin roolissa .

Määritelmä

Olkoon mitattavissa oleva tila , parametrin arvojen joukko . Parametrifunktiota , jonka arvot ovat satunnaismuuttujia vaiheavaruuden alkeistapahtumien avaruudessa , kutsutaan vaiheavaruuden satunnaisprosessiksi . [yksi] $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t$ ${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$ $t\in T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$

Terminologia

Satunnaisprosessien tutkimuksen ja soveltavan soveltamisen luokitus ja terminologia eivät ole tiukkoja. Erityisesti termiä "satunnainen prosessi" käytetään usein ehdottomana synonyymina termille "satunnainen toiminto". [2] Sarjan tyypistä riippuen käytetään usein seuraavia termejä. $T$

Jos , niin parametri voidaan tulkita ajalla . Tällöin satunnaisfunktiota kutsutaan satunnaisprosessiksi . Jos joukko on esimerkiksi diskreetti, niin tällaista satunnaisprosessia kutsutaan satunnaissekvenssiksi . $T\subset \mathbb {R}$ $t\in T$ $\{X_{t}\}$ $T$ $T\subset {\mathbb {N}}$

Jos , missä , niin parametri voidaan tulkita pisteeksi avaruudessa, jolloin satunnaisfunktiota kutsutaan satunnaiskentällä . $T\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $n\geqslant 1$ $t\in T$

Perustiedot

Kaikki mahdolliset yhteiset arvojen todennäköisyysjakaumat : $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1}) \in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B} })

kutsutaan satunnaisprosessin äärellisulotteisiksi todennäköisyysjakaumaksi . Satunnaisprosesseja ja arvojen ottoa vaiheavaruudessa kutsutaan ekvivalenteiksi , jos jollekin vastaavat arvot ovat ekvivalentteja . ${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$
${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$ $\eta =\eta (t)$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $t\in T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$

Jokaista kiinteää parametrifunktiota, jolla on arvoja vaiheavaruudessa, kutsutaan satunnaisprosessin toteutukseksi tai liikeradalle . Satunnaisprosessia kutsutaan suoraan määritellyksi, jos jokaista alkeistulosta kuvataan vastaavalla liikeradalla kaikkien joukon funktioiden toiminnallisessa avaruudessa vaiheavaruuden arvoilla ; tarkemmin sanottuna, jos ja — algebran muodostavat kaikki mahdolliset sylinterijoukot , missä ja , ja arvot ovat muotoa , . Mikä tahansa satunnainen prosessi voidaan liittää suoraan annettuun satunnaisprosessiin, jolla on samat äärellisulotteiset jakaumat. Jokaiselle äärellisulotteisen todennäköisyysjakauman johdonmukaiselle perheelle ( jotka ovat tiheitä mittauksia vaihetopologisessa avaruudessa ) on olemassa suoraan annettu satunnaisprosessi, jolla on samat äärellisulotteiset todennäköisyysjakaumat. $\omega \in \Omega$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $t$ $(E,{\mathfrak {B}})$ ${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$ ${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$ ${\näyttötyyli x=x(t)}$ $E=E^{T}$ $T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\Omega =X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\näyttötyyli {x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n))}$ $t_{1},...,t_{n}\in T$ $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B)))$ ${\näyttötyyli \xi (t)=\xi (x,t)}$ ${\näyttötyyli \xi (x,t)=x(t)}$ $x\in X$ $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B))$ $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ ${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$

kovarianssifunktio . Olkoon todellinen tai monimutkainen satunnainen prosessi joukossa , jolla on toiset hetket: . Satunnaisprosessin arvoja voidaan pitää Hilbert-avaruuden elementteinä - kaikkien satunnaismuuttujien avaruuden , , skalaaritulolla ${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$ $T$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ ${\näyttötyyli \xi =\xi (t)}$ $L^{2}(\Omega )$ $\eta$ $E|\eta (t)|^{2}<\infty$

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

Tällaisen satunnaisen prosessin tärkeimmät ominaisuudet ovat sen matemaattinen odotus $\xi (t)$

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

ja kovarianssifunktio

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))=(\xi (s),\xi (t))

Kovarianssifunktion sijasta voidaan käyttää korrelaatiofunktiota , joka on prosessin kovarianssifunktio, jolla on nolla matemaattinen odotus. Jos argumentit ( ) ovat yhtä suuret, korrelaatiofunktio on yhtä suuri kuin satunnaisprosessin varianssi $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))-A(s){\overline {A(t)))$ ${\näyttötyyli \xi (t)-A(t)}$
$s=t$

B(s,s)=E(\xi(s)-A(s))({\overline {\xi(s)-A(s))))=D(s)

Kahden muuttujan funktio ja on jonkin satunnaisen prosessin kovarianssifunktio , jos ja vain jos se täyttää seuraavan positiivisen definititeettiehdon kaikille: ${\näyttötyyli B(s,t)}$ $s$ $t$ $\xi (t)$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $n=1,2,...$

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k)){\overline {c_ {j}}}\geqslant 0

mille tahansa kompleksiluvulle . $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}...,c_{n))$

Luokitus

Satunnaisprosessia kutsutaan ajassa diskreetiksi prosessiksi , jos järjestelmä, jossa se virtaa, muuttaa tilojaan vain ajoittain , joiden lukumäärä on äärellinen tai laskettavissa. Satunnaisprosessia kutsutaan jatkuvaksi aikaprosessiksi , jos siirtyminen tilasta tilaan voi tapahtua milloin tahansa. $X(t)$ $\;t_{1},t_{2},\ldots$
Satunnaisprosessia kutsutaan prosessiksi, jolla on jatkuvat tilat, jos satunnaisprosessin arvo on jatkuva satunnaismuuttuja. Satunnaisprosessia kutsutaan satunnaisprosessiksi, jossa on diskreetit tilat, jos satunnaisprosessin arvo on diskreetti satunnaismuuttuja:
Satunnaista prosessia kutsutaan kiinteäksi , jos kaikki moniulotteiset jakautumislait riippuvat vain ajanhetkien suhteellisesta sijainnista , mutta eivät itse näiden suureiden arvoista. Toisin sanoen satunnaista prosessia kutsutaan paikallaan pysyväksi, jos sen todennäköisyysmallit eivät muutu ajallisesti. Muuten sitä kutsutaan ei-stationaariksi . $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$
Satunnaisfunktiota kutsutaan kiinteäksi laajassa merkityksessä , jos sen matemaattinen odotus ja varianssi ovat vakioita ja ACF riippuu vain aikapisteiden erosta, jolle satunnaisfunktion ordinaatit otetaan. Konseptin esitteli A. Ya. Khinchin .
Satunnaista prosessia kutsutaan prosessiksi, jossa on tietyn suuruiset kiinteät lisäykset, jos tällaisen inkrementin todennäköisyysmallit ovat muuttumattomia ajallisesti. Yaglom tarkasteli tällaisia prosesseja [3] .
Jos satunnaisfunktion ordinaatit noudattavat normaalijakauman lakia , itse funktiota kutsutaan normaaliksi .
Satunnaisfunktiot, joiden ordinaattien jakautumislaki tulevalla ajanhetkellä määräytyy täysin prosessin ordinaatin arvon perusteella nykyisellä ajanhetkellä, eikä se riipu prosessin ordinaattien arvoista aikaisemmilla hetkillä, kutsutaan Markoviksi .
Satunnaisprosessia kutsutaan prosessiksi, jossa on riippumattomia lisäyksiä , jos jollekin joukolle , jossa , a , satunnaismuuttujat , , , ovat toisistaan riippumattomia. $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ $n>2$ $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ $(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}})$ $(X_{{t_{3}}}-X_{{t_{2}}})$ $\ldots$ $(X_{{t_{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}})$
Jos stationaarisen satunnaisprosessin momenttifunktioita määritettäessä voidaan tilastollisen ryhmän keskiarvon laskeminen korvata ajan keskiarvolla, niin tällaista stationaarista satunnaisprosessia kutsutaan ergodiseksi .
Satunnaisprosesseista erotetaan impulssisatunnaisprosessit .
Haaroittuva satunnainen prosessi voi kuvata ilmiöitä, jotka liittyvät objektien toistoon, jakamiseen tai muuntamiseen.

Esimerkkejä

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , jossa kutsutaan standardi Gaussin (normaali) satunnaissekvenssi. $\;X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1)$
Antaa , ja olla satunnaismuuttuja. Sitten $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $Y$

X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )

on satunnainen prosessi.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. Todennäköisyysteoria (Peruskäsitteet. Rajalauseet. Satunnaisprosessit) - M .: Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpaino, Nauka Publishing House, 1973. - 496 sivua.
↑ Satunnainen toiminto . www.kirjasivusto.ru _ Haettu: 20.8.2021. (määrätön)
↑ Yaglom A. M. Prosessien korrelaatioteoria satunnaisten stationaaristen parametristen inkrementtien kanssa // Matemaattinen kokoelma. T. 37. Numero. 1. S. 141-197. – 1955.

Kirjallisuus

Sveshnikov AA Satunnaisfunktioteorian sovelletut menetelmät. - Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden päätoimittaja, 1968.
Baskakov S.I. Radio/tekniset piirit ja signaalit. - Korkeakoulu, 2000.
Natan A. A. , Gorbatšov O. G., Guz S. A. Satunnaisprosessien teorian perusteet : oppikirja. käsikirja kurssista "Satunnaiset prosessit" - M .: MZ Press - MIPT, 2003. - 168 s. ISBN 5-94073-055-8 .
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Satunnaisprosessien teoria ja sen tekniset sovellukset. - M .: Nauka, 1991. - 384 s. — ISBN 5-02-014125-9 .
Kulikov EI Satunnaisprosessien mittausmenetelmät. - M . : Radio ja viestintä, 1986. - 272 s.
Ralph joulukuu Satunnaisprosessien epälineaariset muunnokset. - M . : Neuvostoliiton radio, 19656. - 206 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX4576445 BNF : 119326416 GND : 4057630-9 J9U : 987007536303605171 LCCN : sh85128181 NDL : 00564752 NKC : ph116285