Topologian vertailu

Topologioiden vertailu on käsite, jonka avulla voit "vertaa" erilaisia topologisia rakenteita samassa joukossa . Kiinteän joukon kaikkien topologioiden joukko muodostaa osittain järjestetyn joukon suhteessa tähän suhteeseen .

Määritelmä

Olkoon ja kaksi topologiaa sellaisessa joukossa , joka sisältyy $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $x,$ $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2:$

\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.

Tämä tarkoittaa, että jokainen ensimmäisen topologisen avaruuden avoin joukko on toisen avoin joukko. Tässä tapauksessa topologiaa kutsutaan karkeammaksi (joskus heikommaksi tai pienemmäksi ) kuin ja sen mukaisesti topologiaa kutsutaan hienommaksi ( vahvempi , suurempi ). Jotkut kirjoittajat, erityisesti laskentaoppikirjoissa, käyttävät termejä "vahva topologia" ja "heikko topologia" vastakkaisilla merkityksillä. [yksi] $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2.$ $\mathcal T_2$

Binäärirelaatio määrittää osittaisen järjestysrakenteen joukon kaikkien mahdollisten topologioiden joukolle $\subseteq$ $x.$

Esimerkkejä

Hienoin topologia on diskreetti topologia , jossa kaikki joukot ovat avoimia. Näin ollen karkein topologia on triviaali (tai antidiskreetti) topologia. $X$

Karkeinta topologiaa, joka täyttää erotusaksiooman T 1 , kutsutaan T 1 -topologiaksi. Tällainen topologia on aina olemassa, se voidaan kuvata eksplisiittisesti topologiaksi, jonka suljetut joukot ovat äärellisiä joukkoja , ja myös kaikki $x,$ $X$ $x.$

Ominaisuudet

Olkoon ja kaksi topologiaa joukossa Sitten seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja: $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $x.$

$\mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2$
Identiteettikartoitus on jatkuvaa . $\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\to (X,\mathcal T_1)$
Identiteettikartoitus on avoin kartoitus (tai vastaavasti suljettu kartoitus ). $\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\to (X,\mathcal T_2)$

Myös nämä lausunnot seuraavat välittömästi määritelmistä:

Jatkuva kartta pysyy jatkuvana, jos päällä oleva topologia korvataan karkeammalla (vastaavasti päällä oleva topologia korvataan hienommalla). $f:X\Y:ksi$ $Y$ $X$
Avoin kartoitus jää avoimeksi, jos päällä oleva topologia korvataan hienommalla (vastaavasti päällä oleva topologia korvataan karkeammalla). Samanlainen väite pätee suljettuihin kartoituksiin. $f:X\Y:ksi$ $Y$ $X$

Hilatopologiat

Topologioiden joukko ei muodosta täydellistä hilaa suhteessa suhteeseen , mikä tarkoittaa, että mielivaltaisella topologiaperheellä on paras raja ja paras alaraja. Tarkka infimum on yksinkertaisesti topologioiden leikkauspiste. Toisaalta topologioiden liitto ei välttämättä ole topologia, ja topologioiden perheen pienin yläraja on topologia, jolle niiden liitto on esikanta . $X$ $\subseteq.$

Mikä tahansa täydellinen hila on myös rajoitettu , topologioiden tapauksessa tämä vastaa diskreetin ja antidiskreetin topologian käsitteitä.

Muistiinpanot

↑ Munkres, James R. (2000). Topologia (2. painos). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. s. 77-78. ISBN 0-13-181629-2 .