Minkowskin summa

Lineaarisen avaruuden V (tai mielivaltaisen ryhmän ) kahden osajoukon A ja B Minkowskin summa on joukko C , joka koostuu kaikkien A :n ja B : n mahdollisten vektorien summista :

C = \vasen\{\,c \mid c=a+b, a\in A, b\in B\,\right\}

Joukon tulo luvulla määritellään samalla tavalla:

\lambda A = \vasen\{\,\lambda a \mid a\in A\,\right\}

Ominaisuudet

Jos joukko A on kupera, niin $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$

mille tahansa ja .

\lambda>0

\mu>0

$\lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B$
$A + B = B + A$
$A + \vasen\{0\oikea\} = A$

Minkowskin erosta

Joukot, joihin on lisätty Minkowskin summa, eivät muodosta lineaarista avaruutta (edes kuperia). Tämä johtuu käänteisen elementin puuttumisesta (elementti - A ei tietenkään ole sellainen).

Joukkojen A ja B Minkowskin ero on suurin joukko C siten , että $C + B\alajoukko A$ ,

mutta on helppo nähdä, että monessa joukossa (esimerkiksi neliö ja ympyrä) Minkowskin ero ei ole summan käänteisarvo.

Vaihtoehtoisesti Minkowskin summaa voidaan laajentaa konveksien joukkojen ( A , B ) parien lineaariseen avaruuteen ekvivalenssirelaatiolla $(A, B) \sim (C, D) \nuoli vasemmalle oikealle A + D = B + C$

Minkowskin erotusta kutsutaan myös geometriseksi joukkoeroksi .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Summien joukko on samanlainen määritelmä additiivisen ja aritmeettisen kombinatorian ryhmien osajoukoille . Summien lisäksi huomioidaan joukkojen ja muiden operaatioiden tulot. $A\times B=\left\lhakasulke {ab:a\in A,b\in B}\oikea\rhaulu$

Kirjallisuus

Polovinkin ES , Balashov MV Konveksin ja vahvasti kuperan analyysin elementit . — M.: FIZMATLIT , 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .