Riemannin summa

Riemannin summa on yksi mekanismeista integraalin määrittämiseksi muodon summan kautta . Käytetään Riemannin integraalin määrittelyssä . Nimetty löytäjän Bernhard Riemannin mukaan . ${\näyttötyyli \sum f(x)\Delta x}$

Määritelmä

Antaa olla funktio , joka on määritelty todellisen rivin osajoukossa . on suljettu väli , joka sisältyy . on osio , jossa . $f:D\rightarrow R$ $D$ $R$ $I=[a,b]$ $D$ $P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ $minä$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$

Jaetun funktion Riemannin summa määritellään seuraavasti: $f$ $P$

S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})

missä . Valinta tässä välissä on mielivaltainen. Jos kaikille , niin sitä kutsutaan vasemmaksi Riemannin summaksi . Jos , niin kutsutaan oikeaksi Riemannin summaksi . Jos , niin sitä kutsutaan keskimääräiseksi Riemannin summaksi . Vasemman ja oikean Riemannin summan keskiarvoa kutsutaan puolisuunnikkaan summaksi . ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i))$ $x_{i}^{*}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1))$ $i$ $S$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i))$ $S$ $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$ $S$

Jos Riemannin summa esitetään seuraavasti:

S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})

missä on välin joukon tarkka yläraja, niin sitä kutsutaan ylemmäksi Riemannin summaksi . Vastaavasti, jos on asetetun intervallin tarkka alaraja , niin sitä kutsutaan alemmaksi Riemannin summaksi . $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$ $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$

Mikä tahansa Riemannin summa tietyllä osiolla (valittaessa mikä tahansa arvo väliltä ) on alemman ja ylemmän Riemannin summan välissä. $x_{i}^{*}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

Jos funktiolla ja segmentillä on Riemannin summien raja, kun osioaskel pyrkii nollaan (riippumatta valinnasta ), niin tätä rajaa kutsutaan segmentin funktion Riemannin integraaliksi ja sitä merkitään . $f$ $[a;b]$ $x_{i}^{*}$ $f$ $[a;b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Kirjallisuus

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matemaattinen analyysi. Alkukurssi. - 2., tarkistettu. - Moskovan yliopiston kustantamo, 1985. - T. 1. - 660 s.