Muunnosjärjestelmä

Korvauksen aksioomaskeema on seuraava joukkoteorian ehdotus :

$\forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\to \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )$ , missä $\forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\olemassa y\forall y'(\phi [x,y]\leftrightarrow y=y')$

Muunnoskaavio voidaan muotoilla venäjäksi, nimittäin: "Mikä tahansa joukko voidaan muuntaa [samaksi tai toiseksi] joukoksi ilmaisemalla toiminnallinen tuomio tämän joukon kaikista elementeistä ." $d$ $\phi$ $b$ $a$

Esimerkki Seuraavassa esimerkissä funktionaalinen arviointi muuttaa jokaisen joukon itsestään.

y=x

a

\phi [x,y]\leftrightarrow y=x\quad \Rightarrow \quad \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c= b))\quad \Leftrightarrow \quad \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

Muutosmallin muut sanamuodot

Muunnoskaavio on myös kirjoitettu seuraavassa muodossa:

$\forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \exists ^{\{1\}}y\ (\phi [b,y])\ )\quad \to \quad \ olemassa d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))$

Esimerkkejä 1. Seuraavassa esimerkissä funktionaalinen päätös muuttaa luonnollisten lukujen joukon parillisten lukujen joukoksi .

y=2b'

\mathbb {N}

{\näyttötyyli \{0,2,4,...\}}

{\begin{aligned}a={\mathbb {N}}\ \land \ (\phi [b',y]\leftrightarrow y=2b')\quad \Rightarrow \quad \exists d\forall c\ (c \in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in {\mathbb {N))\ \land \ c=2b))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\ in \{0,2,4,...\})\end{aligned}}

2. Seuraavassa esimerkissä funktionaalinen päätös muuntaa reaalilukujen joukon [järjestämättömäksi] pariksi .

(b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2})

\mathbb {R}

\{a_{1},\ a_{2}\}

{\begin{aligned}a={\mathbb {R}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2}))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in {\mathbb {R }}\ \land \ (b=0\to c=a_{1})\land (b\neq 0\to c=a_{2})\ ))\\\ \Vasen oikea nuoli \olemassa d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{aligned}}

3. Seuraavassa esimerkissä funktionaalinen päätös muuttaa kokonaislukujoukon luonnollisten lukujen osajoukoksi .

(0\leq b'\leq 1\to y=b')\ \land \ (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1)

\mathbb {Z}

{\displaystyle \{n:\ n\in \mathbb {N} \ \land \ n<2\))

{\begin{aligned}a={\mathbb {Z}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (0\leq b'\leq 1\to y=b')\land (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in { \mathbb {Z}}\land (0\leq b\leq 1\to c=b)\land (b<0\tai b>1\to c=1)))\\\ \nuoli vasen \olemassa d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{n:\ n\in {\mathbb {N}}\ \land \ n<2\}\ )\end{aligned}}

Muunnoskaavio on myös kirjoitettu seuraavassa muodossa:

$\forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y]))\quad \to \quad \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))$ , missä $\exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y])\Leftrightarrow \forall y\forall y'\ (\phi [b,y]\ \land \ \phi [b,y']\to y=y')$

Von Neumann osoitti, että tämä aksiooma seuraa kokorajoituksen aksioomasta . Muunnoskaavion aksiooma voidaan ilmaista seuraavasti: jos F on funktio ja A on joukko, niin F ( A ) on joukko.

Muistiinpanot

1. Yhteys muunnoskaavion ja pari-aksiooman välillä ilmaistaan seuraavalla lauseella:

${\begin{aligned}\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))\quad \land \quad (\ phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (b'=\varnothing \to y=a_{1})\land (b'\neq \varnothing \to y=a_{2})\ )\\\ \ rightarrow \quad (\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \rightarrow \ \exists c\forall b \ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\tai b=a_{2})\ )),\end{tasattu}}$

missä on tyhjän joukon Boolen arvo .

{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))

2. Muunnosmallin ja valintamallin välinen yhteys ilmaistaan seuraavalla lauseella :

${\begin{aligned}\forall a\ (\ x\in \{b:b\in a\land \Phi [b]\}\quad \land \quad (\phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (\Phi [b']\to y=b')\land (\neg \Phi [b']\to y=x)\ )\\\ \to \quad (\olemassa d\forall c\ () c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \leftrightarrow \ \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\land \Phi [b]))\ )\end{aligned}}$

Historiallinen tausta

Muunnoskaavio ei sisältynyt saksalaisen matemaatikon Ernst Zermelon vuonna 1908 laatimiin joukkoteoriaaksioomiin.

Muunnoskaavion ehdotti Adolf Frenkel vuonna 1922 , hieman myöhemmin ja hänestä riippumattomasti norjalainen matemaatikko Turalf Skolem .

Katso myös

Joukkoteorian aksiomatiikka

Muunnosjärjestelmä

Muutosmallin muut sanamuodot

Muistiinpanot

Historiallinen tausta

Katso myös

Kirjallisuus