Lähentyminen lähes kaikkialla

Funktiosarja konvergoi lähes kaikkialla rajafunktioksi , jos pistejoukolla , jolle ei ole konvergenssia, on nollamitta [1] .

Määritelmä

Antaa olla välilyönti toimenpide , ja . He sanovat, että se konvergoi melkein kaikkialla, ja he kirjoittavat - a.e. jos [1] $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ $\{f_{n}\}$ $f_{n}\to f$ $\mu$

\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0

Todennäköisyysterminologia

Jos on olemassa todennäköisyysavaruus , ja ovat satunnaismuuttujia sellaisia, että $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )$ $Y_{n},Y$

\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\ oikea)=1

silloin sanomme, että sekvenssi konvergoi lähes varmasti [ 2] :een . $\{Y_{n}\}$ $Y$

Konvergenssin ominaisuudet a.e.

Pistekohtainen konvergenssi merkitsee ilmeisesti lähentymistä lähes kaikkialla.
Anna , missä ja lähentyvät lähes kaikkialla . Olkoon myös sellainen funktio , että kaikille ja melkein kaikille (summaable majorant ). Sitten ja sisään . Ilman a priori oletusta integroitavan majorantin olemassaolosta konvergenssi lähes kaikkialla (ja jopa kaikkialla) ei tarkoita konvergenssia . Esimerkiksi funktiosarja konvergoi nollaan melkein kaikkialla, mutta ei konvergoi . $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$ $1\leq p<\infty$ $\{f_{n}\}$ $f$ $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ $n$ $x\in X$ $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f_{n}\to f$ $L^{p}$ $L^{p}$ $n\chi _{[0,1/n]}$ $[0,1]$ $L^{1}[0,1]$
Lähentyminen lähes kaikkialla tarkoittaa konvergenssia, jos mitta on äärellinen. Avaruuksille, joilla on ääretön mitta, tämä ei pidä paikkaansa [3] .

Katso myös

Melkein kaikkialla

Muistiinpanot

↑ 1 2 Dyachenko, Uljanov, 1998 , s. 55 § 13. lähentymistä lähes kaikkialla.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1985 , s. 313 Lähentyminen on lähes varmaa.
↑ Djatšenko, Uljanov, 1998 , s. 57 Lause 13.2 (Riesz-esimerkki).

Kirjallisuus

Djatšenko M. I., Uljanov P. L. Mitta ja integraali . - M . : "Factoriaal", 1998.
Matemaattinen tietosanakirja / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Satunnainen muuttuja - Solu).