Surjektio

Surjektio tai surjektiivinen kartoitus ( ranskasta sur "on, over" + latina jacio "minä heittelen") on joukon yhdistäminen joukkoon , jossa jokainen joukon elementti on kuva vähintään joukon yhdestä elementistä , eli ; toisin sanoen funktio , joka ottaa kaikki mahdolliset arvot. Joskus sanotaan, että surjektiivinen kartta karttaa ( injektiivinen kartta yleensä ) . $X$ $Y$ $(f\colon X\to Y)$ $Y$ $X$ $\kaikki y\in Y\;\olemassa x\in X:y=f(x)$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

Kartoitus on surjektiivinen, jos ja vain, jos kuvauksen alla oleva joukon kuva on sama kuin : . Myös funktion surjektiivisuus vastaa oikean käänteisen kuvauksen olemassaoloa . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $X$ $f$ $Y$ $f(X) = Y$ $f$ $f$

Tarkkaan ottaen surjektion käsite on sidottu joukkoon : on oikein sanoa tavallisesti sallitun sananvapauden "surjektio" sijaan tarkka "surjektio ". Itse asiassa on selvää, että jokainen kartoitus on surjektio kuvassaan : jos , niin on surjektio , koska se on myös muodollinen kartoituksen määritelmän mukaan. $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $Y$ $Y$ $Z=\{y:f(x)=y\}$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $Z$ $f\colon X\to Z$

Surjektion käsite ( injektion ja bijektion ohella ) otettiin käyttöön Bourbakin teoksissa, ja se tuli laajalle levinneeksi melkein kaikilla matematiikan aloilla.

Esimerkkejä

$f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x$ - surjektiivisesti.
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ - surjektiivisesti.
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — ei ole surjektiivinen (ei ole esimerkiksi sellaista, että ). $x\in \mathbb {R}$ $f(x) = -9$

Sovellus

Topologiassa tärkeä käsite nipusta määritellään mielivaltaiseksi jatkuvaksi topologisten avaruuksien surjektiiviseksi kartoitukseksi (niputettu tila nippupohjaksi).
Relaatiotietomallien entiteettien taulukkojen välisten moni-yhteen-suhteiden järjestämistä voidaan pitää surjektiivisena funktiona.

Yleistykset

Kategoriateoriassa surjektion käsite on yleistetty epimorfismin käsitteeseen, ja lisäksi joissakin luokissa nämä käsitteet ovat samat.

Kirjallisuus

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Joukkoteorian alkua // Matemaattisen logiikan ja algoritmien teorian luentoja . (linkki ei saatavilla)
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matemaattinen logiikka: Oppikirja. - Kolmas, stereotypia. toim. - Pietari. : Lan, 2004. - 336 s.