Tensori Darboux

Kaksiulotteisen pinnan F 2 , jonka Gaussin kaarevuus ei ole nolla K euklidisessa avaruudessa E 3 , Darboux-tensorin komponentit lasketaan kaavoilla: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

missä ovat toisen asteen muodon kertoimet, on Gaussin kaarevuus, ja ja ovat niiden kovarianttiderivaatat. ${\displaystyle b_{ij))$ $K\neq 0$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

Darboux-tensori [1] liittyy kuutiometriseen differentiaalimuotoon

\Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m} -{\frac {3\nabla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.

Tätä muotoa, jota kutsutaan pinnalla olevaksi käyräksi, kutsutaan Darboux-invariantiksi.

Käyrää, jonka jokaisessa pisteessä Darboux-invariantti on yhtä suuri kuin nolla, kutsutaan Darboux-viivaksi [2] .

Yleistetty hyperpinnan Darboux-tensori on kolminkertainen kovariantti kolmannen asteen symmetrinen tensori, joka on määritetty n-ulotteiselle hyperpinnalle F n , jonka Gaussin kaarevuus K on nollasta poikkeava euklidisessa avaruudessa E n+1 [3] . Hyperpinnan yleistetyn Darboux-tensorin komponentit lasketaan kaavoilla [4] : ${\displaystyle \Theta _{(n)))$

\Theta _{(n)ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j} K+b_{jm}\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\quad i,j,m=1,2,...,n.

Hyperpintaa F n euklidisessa avaruudessa E n+1 , jossa yleistetty Darboux'n tensori on määritelty ja joka on identtisesti nolla, kutsutaan yleistetyksi Darboux'n hyperpinnaksi E n+1 :ssä .

Muistiinpanot

↑ Darbouch, G. (1880). Sonni. sci. math.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V. F. (1948). Pintojen teorian perusteet tensoriesittelyssä, osa 2, M.-L.: OGIZ, 1948, s. 208-233.
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Yleistetyt Darboux-pinnat vakiokaarevuustiloissa. Saarbrücken, Saksa: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, s. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Yleistetyt Darboux-pinnat vakiokaarevuustiloissa. C. 119-130.