Tensorikenttä

Tensorikenttä on kuvaus , joka määrittää tensorin kullekin tarkasteltavana olevan avaruuden pisteelle .

Määritelmä

Muodollisesti tensorikenttä voidaan määritellä useilla tavoilla.

Määritelmä monisarjan rakenteen käsitteellä

Käyttämällä differentiaaligeometrian peruskäsitettä - jakotukin rakennetta - voimme antaa seuraavan määritelmän:

Olkoon , ja tyypin tensorien avaruus, jossa on ryhmän luonnollinen tensoriesitys , silloin tyyppirakenne on ensimmäisen asteen lineaarinen rakenne ja sitä kutsutaan tensorikentällä (tai tensorirakenteella ) tyyppiä . $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$

Määritelmä tensorinipun käsitteen kautta

Tensorikenttää määriteltäessä voidaan lähteä käsitteestä tensorinippu .

Tensorikenttä on differentioituvassa monistossa olevan tensorinipun osa, joka on yleensä isomorfinen tangentti- ja kotangenttikimppujen tensoritulon kanssa $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$

T^{{p,\;q))(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{ *}.

Ei-tiukka määritelmä

Vähemmän muodollisesti tensorikenttää voidaan pitää mappauksena , joka määrittää vakiovalenssin tensorin kullekin tarkasteltavana olevan moniston pisteelle. $M$

Laajuus

Tensorikentän käsite tulee luonnollisesti esiin mekaniikassa ja jatkumofysiikassa anisotrooppisten väliaineiden kuvauksessa . Tensorikentän käsite löytää sovelluksen kaikissa soveltavissa tieteissä, joissa tällaisia medioita tarkastellaan ja tutkitaan. Se sisältyy yleisen ja erikoissuhteellisuusteorian matemaattiseen laitteistoon .

Laajennettu tensorikenttä

Laajennetun tensorikentän käsite syntyy tensorikentän käsitteen laajentamisen seurauksena edellä esitetyssä mielessä.

Ei-tiukka määritelmä

Helpoin tapa ymmärtää tällainen laajennus perustuu ei-tiukkaan määritelmään, jonka mukaan tensorikenttä on kuvaus, joka liittää jokaiseen moniston pisteeseen jonkin tähän pisteeseen liittyvän kiinteän valenssisen tensorin . Olkoon nyt jokin muu jako, joka on linjanipu yli , ja anna olla kanoninen projektio tällaiselle nipulle. Tällöin laajennettu tensorikenttä on kartoitus, joka määrittää jokaiselle moniston pisteelle tietyn kiinteän valenssin tensorin , joka viittaa pisteeseen . $\displaystyle x$ $\displaystyle M$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle x$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle M$ $\displaystyle \pi :{\tilde M}\to M$ $\displaystyle y$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle x=\pi (y)$

Kirjallisuus

Matemaattinen tietosanakirja / Toim. I. M. Vinogradova . - M . : Mir, 1965. - T. 5. - S. 333. - 1060 s.
Rashevsky, P. K. Riemann geometria ja tensorianalyysi . - 3. painos - M .: Nauka, 1967. - 664 s.