Tensori nippu

Differentioituvan monisarjan tyyppinen tensorinippu on vektorinippu over , joka liittyy tangenttikehysten nippuun ja jonka standardikuituna on tyypin tensoreiden avaruus , jossa ryhmä toimii tensoriesityksen avulla. Esimerkiksi se osuu tangenttikimpun yli , a osuu kotangenttikimpun kanssa . $(p,\;q)$ $M$ $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$ $T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})$ $(p,\;q)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $GL(n,\;\mathbb {R} )$ $T^{1,\;0}(M)$ $T(M)$ $M$ $T^{0,\;1}(M)$ $T(M)^{*}$

Yleensä tensorinippu on isomorfinen tangentti- ja kotangenttikimppujen tensoritulon kanssa:

T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes } }\,T(M)^{*}.

Kimput itsessään ovat vain perusta tyyppisten tensorinippujen osien rakentamiselle , joita kutsutaan tyypin tensorikentiksi ja jotka ovat differentiaaligeometrian pääasiallinen tutkimuskohde . Joten esimerkiksi Riemannilainen rakenne on nipun sileä osa , jonka arvot ovat positiivisesti määrättyjä symmetrisiä muotoja . $(p,\;q)$ ${\näyttötyyli (p,\;q)}$ $M$ $T^{0,\;2}(M)$

Kimpun sileät osat muodostavat moduulin tasaisten funktioiden algebran päälle . Jos on parakompakti jakotukki , niin $T^{{p,\;q}}(M)$ $D^{p,\;q}(M)$ $F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)$ $M$ $M$

D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q} {\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},

missä on tasaisten vektorikenttien moduuli , on Pfaffin differentiaalimuotojen moduuli, ja tensoritulot otetaan käyttöön . $D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)$ $D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)$ $F^{\infty }(M)$

Klassisessa differentiaaligeometriassa tensorikenttiä kutsutaan joskus yksinkertaisesti tensoreiksi . $M$

Kirjallisuus

Kobayashi Sh., Nomizu K. Differentiaaligeometrian perusteet. - M .: Novokuznetskin fysiikan ja matematiikan instituutti, 1999. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 . .
Helgason S. Differentiaaligeometria, lie-ryhmät ja symmetriset avaruudet. - M . : Factorial Press, 2005. - 608 s. - (XX vuosisata. Matematiikka ja mekaniikka). — ISBN 5-88688-076-3 . .