Blochin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 2. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Blochin lause on tärkeä kiinteän olomuodon fysiikan lause , joka määrittää jaksollisen potentiaalin hiukkasen aaltofunktion muodon. Nimetty sveitsiläisen fyysikon Felix Blochin mukaan . Yksiulotteisessa tapauksessa tätä lausetta kutsutaan usein Floquet-lauseeksi. Muotoiltu vuonna 1928.

Sanamuoto

Tiukka sanamuoto

Yksielektronisen Hamiltonin ominaistilat

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\,,

jossa potentiaali U ( r ) on jaksollinen kaikilla Bravais-hilan vektoreilla R , voidaan valita siten, että niiden aaltofunktiot ovat tasoaallon muotoisia kerrottuna funktiolla, jolla on sama jaksollisuus kuin Bravais-hilalla:

\psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\,,

missä

u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

kaikille Bravais-hilaan kuuluville R :ille . Indeksiä n kutsutaan vyöhykenumeroksi. Sen esiintyminen johtuu siitä, että mielivaltaiselle kiinteälle hiukkasaaltovektorille k järjestelmällä voi olla useita itsenäisiä ominaistiloja.

Muodossa olevia elektronisia aaltofunktioita kutsutaan Bloch-funktioiksi . Mutta on tärkeää ymmärtää, että toisin kuin Bloch-funktiot, amplitudit eivät ole jaksollisia funktioita, koska termi kuvaa tasoaaltoa . $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ $\psi _{n{\textbf {k}}}=e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}u_{n{\textbf {k}}}({\ textbf{r)))$ $e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}$

Sanamuodon selvennykset

Lause käsittelee ihanteellista ääretöntä kristallia. Tämä tarkoittaa, että siinä ei ole vikoja ja että sillä on translaatiosymmetriaa. Teorian jatkorakentamisessa hilan jaksollisuuden rikkomuksia pidetään yleensä pieninä häiriöinä. Lisäksi todellisessa kiteessä elektronit ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa, mikä pitäisi näkyä järjestelmän Hamiltonissa lisäämällä vastaava termi. Lauseen muotoilussa on kuitenkin käytetty ei-vuorovaikutteisten elektronien approksimaatiota, mikä mahdollistaa yhden hiukkasen Hamiltonin tarkastelun.

Todiste

Merkitään T R :llä mielivaltaisen funktion vektoriin R kääntämisen operaattoria . Hamiltonin jaksollisuuden vuoksi meillä on:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}\psi ={\hat {H}}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hattu {H}}(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hattu {H} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi .

Siten Bravais-hilan mielivaltaiseen vektoriin translaation operaattori kommutoi järjestelmän Hamiltonin kanssa. Lisäksi käännösoperaattorit mielivaltaiseen kahteen vektoriin liikennöivät keskenään:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )={\hattu {T} }_{\mathbf {R'} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} + \mathbf {R'} )={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} ).

Kvanttimekaniikan peruslauseesta seuraa, että tässä tapauksessa Hamiltonin H :n tilat voidaan valita siten, että ne ovat samanaikaisesti kaikkien operaattoreiden T R ominaistiloja :

{\hat {H}}\psi =E\psi ,

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi .

Ominaisarvot c ( R ) liittyvät suhteeseen c ( R ) c ( R' )= c ( R + R' ), koska toisaalta:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R } ){\hat {T))_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} )c(\mathbf {R'} )\psi ,

toisen kanssa:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi ={\hat {T}}_{\mathbf {R } +\mathbf {R'} }\psi =c(\mathbf {R} +\mathbf {R'} )\psi .

Olkoon a i Bravais-hilan kolme päävektoria. Voimme aina esittää c ( a i ) muodossa

c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi \mathbf {i} \mathbf {x} _{i)).

Mielivaltaiselle vektorille R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 yhtälö on tosi:

c(\mathbf {R} )=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}*c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2} }*c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}},

ekvivalentti yhtälölle , missä b i ovat käänteishilavaktoreita, jotka täyttävät suhteen $c(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }$ $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3} \,,$

\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}.

Siten Hamiltonin H :n ominaisarvot ψ voidaan valita siten, että jokaiselle Bravais-hilan vektorille R pätee yhtälö:

{\hat {T))_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )=c(\mathbf {R } } )\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} ),

mikä vastaa täsmälleen lauseen väitettä.

Katso myös

Kirjallisuus

N. Ashcroft, N. Mermin. Kiinteän olomuodon fysiikka. Osa 1. Luku 8.