Carathéodoryn kupera rungon lause

Carathéodoryn konveksi runkolause sanoo, että missä tahansa euklidisen avaruuden osajoukon konveksin rungon pisteessä on ei-degeneroitunut simpleksi , joka sisältää sen kärkeineen tässä osajoukossa.

Lauseen lause

Olkoon kompakti joukko -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa . Tällöin mikä tahansa kuperan rungon piste on kupera yhdistelmä enintään joukon pisteistä [1] [2] . Tuo on $A$ $m$ $x$ $A$ $m+1$ $A$

\operatorname {Conv} A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}:x=\sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}x_ {i},\quad x_{i}\in A,\quad \lambda _{i}\geqslant 0,\quad \sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}=1 ,\quad i=1,\ 2,\ \dots ,\ m+1\right\}

Aiheeseen liittyvät tulokset

Siinä tapauksessa, että jokin pisteen koordinaateista saavuttaa ääriarvon (joukolle A ), tämä piste voidaan esittää kuperana yhdistelmänä enintään m pisteestä A [1] . $x\in \operaattorinimi {Conv} A$

Hellyn lause [1] liittyy myös Carathéodoryn kuperaan rungon lauseeseen .

Kompaktin sarjan kupera runko on kompakti. Tätä väitettä kutsutaan joskus myös Carathéodoryn lauseeksi. [3]

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Yudin, 1974 , s. 22.
↑ Shikin E. V. Lineaariset avaruudet ja kartoitukset. - M., Moskovan valtionyliopisto , 1987. - c. 176
↑ § 1 Kuperat rungot. Lemman ja Carathéodoryn lause . Käyttöpäivä: 9. joulukuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 5. maaliskuuta 2016. (määrätön)

Kirjallisuus

Yudin D. B. Matemaattiset ohjausmenetelmät epätäydellisten tietojen olosuhteissa. - M . : "Neuvostoliiton radio", 1974. - 400 s.