Kovalevskajan lause

Kovalevskajan teoreemalla Cauchyn ongelman ainutlaatuisuudesta ja paikallisesta ratkaistavuudesta Kovalevskaja-järjestelmässä on tärkeä rooli osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa .

Kovalevskajan järjestelmä

Osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä , jonka muotoa ei tunneta ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{N))$

{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x ,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1 }^{a_{1}}...\osittainen x_{n}^{a_{n}}}},...\oikea),

jossa , , , , , eli yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, kutsutaan Kovalevskaja-järjestelmäksi . Riippumattomalle muuttujalle on tunnusomaista se, että järjestelmän kunkin funktion korkeimman kertaluvun johdannaisten joukossa on kertalukuderivaata ja järjestelmä ratkaistaan näiden derivaattojen suhteen. $x=(x_{1},...,x_{n})$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ ${\displaystyle a\leqslant n_{j))$ $a_{0}\leqslant n_{j}-1$ ${\näyttötyyli i,j=1,...,N}$ $t$ $n_{i}$ $t$ $n_{i}$

Käytetään seuraavaa merkintää:

D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\ osittainen x_{1}^{a_{1}}...\osittainen x_{n}^{a_{n}}}},

missä , , . ${\displaystyle a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ $a_{i}\geqslant 0$ $i=1,...,N$

Sanamuoto

Jos kaikki funktiot ovat analyyttisiä pisteen läheisyydessä ja funktiot ovat määriteltyjä ja analyyttisiä pisteen läheisyydessä , niin Cauchyn ongelmalla on analyyttinen ratkaisu jossain pisteen ympäristössä , mikä on ainutlaatuinen analyyttisten funktioiden luokassa. . $\phi _{i}^{k}(x)$ $x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ $F_{i}$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\ pisteet ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\pisteet )$ $(t^{0},x_{1}^{0},\pisteet ,x_{n}^{0})$

Todiste

Katso myös

Cauchyn-Kovalevskajan lause

Kirjallisuus

Vladimirov VS Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - Moskova : "Nauka", 1981. - S. 78-79. — 512 s.