Kolmogorovin kaksisarjalause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. elokuuta 2017 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kolmogorovin kaksisarjalause todennäköisyysteoriassa asettaa riittävän ehdon konvergenssille todennäköisyydellä yksi sarjasta riippumattomia satunnaismuuttujia . Kolmogorovin kaksisarjalauseella voidaan todistaa suurten lukujen vahva laki .

Riippumattomien satunnaismuuttujien sarjan konvergoimiseksi todennäköisyydellä yksi riittää, että kaksi sarjaa konvergoi samanaikaisesti: ja . Jos lisäksi , tämä ehto on myös välttämätön. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ $\sum D\xi _{n}$ $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$

Todiste

Jos , niin konvergoi Kolmogorov-Khinchin konvergenssilauseen mukaan . Mutta olettaen, että sarjat lähentyvät, joten sarja myös lähentyy . $\sum D\xi _{n}<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ $M\xi _{n}$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Todistaaksemme tarpeellisuuden käytämme seuraavaa "symmetrisointimenetelmää". Tarkastellaan sekvenssin ohella siitä riippumatonta satunnaismuuttujien sarjaa , jolla on sama jakautuminen kuin . $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...$ $\xi _{n}^{'}$ $\xi _{n},n\geqslant 1$

Sitten, jos sarja konvergoi , niin sarja konvergoi ja siten sarja . Mutta myös . Siksi Kolmogorov-Hhinchin konvergenssilauseen mukaan . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\sum \xi _{n}^{'}$ $\sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})$ $M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ $P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$ $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$

Seuraavaksi . Siksi Kolmogorov-Hhinchin konvergenssilauseen mukaan sarja konvergoi todennäköisyydellä yksi ja siten sarja myös konvergoituu . $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$

Joten sarjan konvergenssista (olettaen , että sekä sarjat että konvergoituvat. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ $\sum D\xi _{n}$

Kirjallisuus

Shiryaev A. N. Todennäköisyys. - 3. painos, tarkistettu. ja muut .. - M . : MTSNMO , 2004. (Luku 4 § 2 § 1)