Kolmogorov-Hhinchin konvergenssilause

Kolmogorov - Khinchin konvergenssilause todennäköisyysteoriassa määrittelee konvergenssikriteerin todennäköisyydellä yksi äärettömälle satunnaismuuttujien sarjalle ja sitä voidaan käyttää Kolmogorovin kaksisarjalauseen todistamiseen.

Lauseen lause

Oletetaan, että riippumattomien satunnaismuuttujien sarja, ja on niiden alkeistulosten joukko, joissa sarja konvergoi äärelliseen rajaan. $\xi _{1},\xi _{2}...$ ${\displaystyle S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n))$ $A$ $\omega$ $\sum \xi _{n}(\omega )$

Ensimmäinen osa

Anna . Sitten, jos , niin sarja konvergoi todennäköisyydellä yksi. $M\xi _{n}=0,n\geqslant 1$ $\sum M\xi _{n}^{2}<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Toinen osa

Jos lisäksi satunnaismuuttujat ovat tasaisesti rajattuja: , niin myös päinvastoin: sarjan ensimmäinen osa seuraa konvergenssista todennäköisyydellä yksi. $\xi _{n},n\geqslant 1$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Todiste

Ensimmäinen osa

Sekvenssi , konvergoi todennäköisyydellä yksi silloin ja vain, jos tämä sekvenssi on perustavanlaatuinen todennäköisyydellä yksi [1] , ts. $(S_{n}),n\geqslant 1$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty

(yksi)

Kolmogorovin epätasa-arvosta johtuen :

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k =n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\ xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}

Siksi, jos , niin ehto 1 täyttyy , sarja konvergoi todennäköisyydellä yksi. $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{k))$

Toinen osa

Anna sarjan lähentyä. Sitten ehdon 1 mukaan riittävän suurelle : ${\displaystyle \sum \xi _{k))$ $n$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2))

(2)

Kolmogorovin epätasa-arvosta johtuen . ${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2 )){\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2))))$

Siksi, jos oletamme, että , niin saamme $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty$

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1$ , mikä on ristiriidassa eriarvoisuuden kanssa 2 . ${\displaystyle}$

Muistiinpanot

↑ Shiryaev, 2004 , s. 370.

Kirjallisuus

Shiryaev A. N. Todennäköisyys. - 3. painos, tarkistettu. ja muut .. - M . : MTSNMO , 2004. (Luku 4 § 2 § 1)