Cauchyn-Kovalevskajan lause

Cauchyn-Kovalevskajan lause on lause Cauchyn ongelman paikallisen ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta osittaiselle differentiaaliyhtälölle . Kovalevskajan lause on yksi tärkeimmistä ja useimmin käytetyistä lauseista osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa: Holmgrenin lause Cauchyn ongelman ratkaisun ainutlaatuisuudesta, olemassaololauseet Cauchyn ongelman ratkaisuun hyperbolisille yhtälöille, teoria Lineaaristen yhtälöiden ratkaistavissa käytetään Kovalevskajan lausetta.

Sanamuoto

Mietitään tilaa . Avaruuden piste merkitään merkillä ja pisteeseen kuuluva piste . Merkitse osittaisen differentioinnin operaattoria $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $(x,t)=(x_{{1}},...,x_{{n}},t)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x=(x_{{1}},...,x_{{n}})$

L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{ \nu ,j}(x,t)\vasen({\frac {d}{dx}}\oikea)^{\nu }\vasen({\frac {d}{dt}}\oikea)^{j }.

Oletetaan, että operaattorin kertoimet määritellään muuttujien avaruudessa origon läheisyydessä ja ovat analyyttisiä funktioita . Olkoon funktio myös analyyttinen . Olkoon alkutiedon vektori analyyttinen jossain origon naapurustossa , eli avaruudessa. Sitten on alkuperän naapurusto ja yksilöllinen analyyttinen funktio , joka on määritelty jossa $L$ $U$ $(x,t)$ $f$ $U$ $\psi$ $x$ $W$ $u(x, t)$ $W$

Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{ j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m -1).\qquad(1)

Todiste

Laitetaan

{\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j! }}u_{j}(x).

Siitä seuraa sitten $(yksi)$

L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\left[{\frac {t^{j}}{j!)}} u_ {j}(x)\oikea].

Siksi ilman yleisyyden menettämistä voimme olettaa, että lähtötiedot kohteelle ovat nolla. Kirjoitetaan muotoon uudelleen $u(x, t)$ $(yksi)$

\left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j} (x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\oikea)^{j}u(x,t)+f(x,t), \qquad(2)

missä on astepolynomi, jonka kertoimet ovat analyyttisiä origon ympäristössä. On helppo nähdä, että Taylor- sarjan laajennuksen kertoimet ${\alpha }_{{j))(x,t;{\xi })$ $\xi$ $mj$ $U$ $c_{{\nu ,j))$

u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu }c_{\nu ,j}x^{\nu }t^{j}\qquad (3)

määrittävät yksiselitteisesti yhtälön ja alkuehdot. Seuraavaksi todistamme sarjan lähentymisen . $(2)$ $(3)$

Majoranttisarjoja ja polynomeja käytetään todistamaan sarjojen konvergenssi . Funktiota kutsutaan origossa majoranttisarjaksi, jos se on tässä pisteessä analyyttinen ja sen Taylor-laajennuksen kertoimet ovat suurempia tai yhtä suuria kuin funktion Taylor-laajennuksen vastaavien kertoimien absoluuttiset arvot , eli , . $(3)$ $F(x,t)$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}$ $c_{{\mu ,j))$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}\geqslant |c_{{\mu ,j}}|$

Historia

Lauseen esitti S.V. Kovalevskaya Göttingenin yliopistoon kahden muun työn ohella väitöskirjaksi vuonna 1874.

Katso myös

Kirjallisuus

S. Mizohata Osittaisten differentiaaliyhtälöiden teoria, Moskova, Mir, 1977, 504 sivua.
O.A. Oleinik- lause S.V. Kovalevskaya ja moderni osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoria // Soros Educational Journal , 1997, nro 8, s. 117