Cauchy-Poincarén lause

Cauchyn–Poincarén lause on yleistys Cauchyn integraalilauseesta moniulotteisen kompleksiavaruuden tapaukseen . Sen todisti A. Poincaré vuonna 1886.

Sanamuoto

Olkoon (monimutkaisen) ulottuvuuden monimutkainen monisto ja holomorfinen astemuoto tällä monimutkaisella. Sitten minkä tahansa -ulotteisen ketjun rajan yli oleva integraali on yhtä suuri kuin nolla: $M$ $n$ $\omega$ $n$ $\omega$ $(n+1)$ $\sigma \subset M$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Todiste

Naapurustossa toimivissa paikallisissa koordinaateissa holomorfinen muoto on muotoa: , jossa on holomorfinen funktio . Koska ja on siis holomorfinen ; ulomman tuotteen ominaisuuksien perusteella saamme siis , että , eli että muoto on suljettu. Stokes-kaavan mukaan rajan yli olevan suljetun muodon integraali on yhtä suuri kuin nolla: . Tästä syystä päätämme, että integraali on nolla. $(z,{\bar {z)))$ $U\subset M$ ${\displaystyle \omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n))$ $f$ $U$ ${\bar {\partial }}f=0$ ${\displaystyle df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu ))}dz_{\mu ))$ $d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0$ $\omega$ $\omega (d\omega =0)$ $\sigma =\partial \sigma ^{'}$ $\int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Kirjallisuus

B. V. Shabat Johdatus kompleksiseen analyysiin, osa II, Useiden muuttujien funktiot, M., Nauka, 1985