Königin lause (mekaniikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Königin lause antaa meille mahdollisuuden ilmaista mekaanisen järjestelmän kokonaiskineettinen energia massakeskuksen liikeenergiana ja liikeenergiana suhteessa massakeskukseen. J. S. König muotoili ja todisti vuonna 1751 [1]

Sanamuoto

Mekaanisen järjestelmän kineettinen energia on massakeskuksen liikeenergia plus liikeenergia suhteessa massakeskukseen:

{T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,

missä on järjestelmän kokonaiskineettinen energia, on massaliikkeen keskuksen kineettinen energia, on järjestelmän suhteellinen kineettinen energia [2] . $T$ $T_{0}$ $T_{r}$

Toisin sanoen monimutkaisessa liikkeessä olevan kappaleen tai kappaleiden järjestelmän kokonaiskineettinen energia on yhtä suuri kuin translaatioliikkeessä olevan järjestelmän energian ja sen liikkeessä olevan järjestelmän energian summa suhteessa massakeskukseen.

Tarkempi muotoilu [3] :

Aineellisten pisteiden järjestelmän liike-energia on yhtä suuri kuin sen massakeskipisteeseensä henkisesti keskittyneen ja sen mukana liikkuvan järjestelmän koko massan kineettisen energian ja sen suhteellisessa liikkeessä olevan saman järjestelmän kineettisen energian summa. suhteessa translaatiossa liikkuvaan koordinaattijärjestelmään, jonka origo on massakeskipisteessä.

Johtopäätös

Todistetaan Königin lause tapaukselle, jossa mekaanisen järjestelmän muodostavien kappaleiden massat jakautuvat jatkuvasti [4] . $S$

Etsitään järjestelmän suhteellinen kineettinen energia tulkitsemalla se liikkuvan koordinaattijärjestelmän suhteen lasketuksi kineettiseksi energiaksi . Antaa olla järjestelmän tarkastellun pisteen sädevektori liikkuvassa koordinaatistossa. Sitten [5] : $T_{r}$ $S$ $\vec \rho$ $S$

T_r\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \ rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;,

jossa piste tarkoittaa skalaarituloa ja integrointi suoritetaan järjestelmän tällä hetkellä käyttämän tilan alueella.

Jos on liikkuvan järjestelmän origon sädevektori ja on järjestelmän tarkastellun pisteen sädevektori alkuperäisessä koordinaatistossa, niin suhde on tosi: ${\vec r}_{0}$ ${\vec {r))$ $S$

\vec r\;=\;\vec r_0 + \vec \rho\;.

Lasketaan järjestelmän kokonaiskineettinen energia siinä tapauksessa, että liikkuvan järjestelmän koordinaattien origo on sijoitettu sen massakeskipisteeseen. Kun otetaan huomioon edellinen suhde, meillä on:

T\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r} {{\rm d}t}\,{\rm d}m\;=\;\frac{1}{2}\int \left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\oikea)\cdot\left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\oikea)\,{\rm d}m\;.

Ottaen huomioon, että sädevektori on sama kaikille , on mahdollista sulkea avaamalla se irrottaa integraalimerkistä : ${\vec r}_{0}$ ${\rm d}m$ $\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}$

T\;=\;\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r_0}{{ \rm d}t}\int \,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\int \ frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{1}{2} \int \frac{ {\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\ ;.

Ensimmäinen termi tämän kaavan oikealla puolella (yhdessä liikkuvan järjestelmän alkupisteeseen sijoitetun materiaalipisteen kineettisen energian kanssa, jonka massa on yhtä suuri kuin mekaanisen järjestelmän massa) voidaan tulkita [2] massaliikkeen keskuksen kineettisenä energiana.

Toinen termi on yhtä suuri kuin nolla, koska sen toinen tekijä on yhtä suuri kuin järjestelmän liikemäärä suhteessa massakeskukseen, joka on yhtä suuri kuin nolla.

Kolmas termi, kuten on jo osoitettu, on yhtä suuri kuin , eli järjestelmän suhteellinen kineettinen energia . $T_{r}$ $S$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Gernet, 1987 , s. 258.
↑ 1 2 Zhuravlev, 2001 , s. 72.
↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi. - M .: Fizmatlit , 2005. - T. I. Mekaniikka. - S. 137-138. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Zhuravlev, 2001 , s. 71-72.
↑ Zhuravlev, 2001 , s. 71.

Kirjallisuus

Gernet M. M. Teoreettisen mekaniikan kurssi. 5. painos - M . : Higher School, 1987. - 344 s.
Zhuravlev VF Teoreettisen mekaniikan perusteet. 2. painos - M .: Fizmatlit, 2001. - 320 s. — ISBN 5-94052-041-3 .