Lagrangen lause (ryhmäteoria)
Lagrangen lause ryhmäteoriassa sanoo :
|
Olkoon ryhmä G äärellinen ja H sen aliryhmä . Tällöin G:n järjestys on yhtä suuri kuin H:n kertaluku sen vasemman tai oikeanpuoleisten kosettien lukumäärällä ( alaryhmäindeksi ). |
Seuraukset
- Minkä tahansa alaryhmän oikean ja vasemman kosettien määrä on sama ja sitä kutsutaan alaryhmän indeksiksi (merkitty ) .
- Minkä tahansa äärellisen ryhmän aliryhmän järjestys jakaa järjestyksen .
- Koska ryhmäelementin järjestys on yhtä suuri kuin tämän elementin muodostaman syklisen aliryhmän järjestys, tästä seuraa, että minkä tahansa äärellisen ryhmän elementin järjestys jakaa järjestyksen . Tämä seuraus yleistää Eulerin lauseen ja Fermatin pienen lauseen lukuteoriassa .
- Järjestysryhmä , jossa on alkuluku , on syklinen. (Koska muun kuin yhden elementin järjestys ei voi olla yhtä suuri kuin 1, kaikilla elementeillä yhtä lukuun ottamatta on järjestys , mikä tarkoittaa, että jokainen niistä muodostaa ryhmän.)
![[G:H]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c19ed6f18e6db133b5a0257ecde8026808fd1c)
Historia
Tämän lauseen tärkeän erikoistapauksen osoitti Lagrange vuonna 1771 tutkiessaan radikaalien algebrallisten yhtälöiden ratkaistavuutta . Lagrange tutki permutaatioryhmää kauan ennen ryhmän määrittelyä . Moderni muotoilu sisältää esimerkkinä Lagrangen lauseen alkuperäisen muotoilun.