Lebesguen mittalaajennuslause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen . Johdanto määritelmät

Antaa olla monotone nondecreasing funktio , vasemmalle jatkuva [1] ja sellainen, että . Otetaan käyttöön mitta muodon kaikkien välien puolijaosta seuraavan säännön mukaisesti: . Tämä mitta voidaan laajentaa Borelin sigma-algebraan . Tässä tapauksessa päillä olevien rakojen mitat määritellään seuraavasti. $F$ $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$ ${\näyttötyyli [a,\;b)}$ $m$ $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$ $a,\;b$

m[a,\;b)=F(b)-F(a)

m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)

m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)

m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)

Tässä on funktion oikeanpuoleinen raja pisteessä (se on olemassa, koska funktio on ei- pienevä). $F(a+0)$ $F(x)$ $a$ $F(x)$

Mitta voidaan laajentaa Lebesgue-lukurivin osajoukkoon. Tässä tapauksessa käy ilmi - Stieltjesin mitta . $m$ $\mu _{F}$

Luovan funktion erikoistapaukset : $F$

$F$ on hyppytoiminto. Hyppy on aina positiivinen, sarja koostuu rajallisesta tai laskettavasta määrästä pisteitä (skalaareja). $A$

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ on erillinen mitta.

Funktio F on jatkuva, ei pienene monotonisesti päällä , päällä . $[a,\;b]$ $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ on ehdottoman jatkuva mitta.

$F$ - yksikköfunktio (esimerkiksi Cantorin tikkaat , jossa askel on 1 koko segmentillä, mutta melkein kaikkialla ). Mitta keskittyy funktion kasvupisteisiin. $F$ $konst$

Mitan laajennuslause

Mikä tahansa Lebesgue-Stieltjes-mitta voidaan esittää kolmen suuren summana - diskreetti, ehdottoman jatkuva ja yksikkö.

Muistiinpanot

↑ Turilova E. A., Kareev I. A. Mittateorian elementit ja Lebesguen integraali. - Kazan: Kazanin liittovaltion yliopisto, 2016. - s. 29.