Liouvillen lause algebrallisten lukujen approksimaatiosta

Liouvillen approksimaatiolause algebrallisille luvuille on lause, jonka mukaan algebrallisia irrationaaleja ei voida approksimoida liian hyvin rationaalisilla luvuilla . Nimittäin, jos on algebrallinen asteluku ja ja ovat mitä tahansa kokonaislukuja , niin seuraava epäyhtälö pätee : $\alpha$ $n>1$ $s$ $q$ $(q\neq 0)$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n))))

missä on positiivinen vakio, joka riippuu vain konjugaattimääristä ja ilmaistaan eksplisiittisesti konjugaattimäärinä . $C$ $\alpha$ $\alpha$

Tällä lauseella Liouville rakensi ensin esimerkkejä transsendentaalisista luvuista . Tällainen luku on esimerkiksi luku, joka esitetään esimerkiksi nopeasti laskevien termien vieressä

\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!)}}.

Yleistykset

Sille , Liouvillen lause antaa parantumattoman tuloksen. Sillä Liouvillen lause on toistuvasti vahvistettu. $n = 2$ $n\ge 3$

Vuonna 1909 Thue totesi, että algebralliset asteluvut ja epäyhtälö $\alpha$ $n$ $\nu >{\frac {n}{2}}+1$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu ))))

(*)

Siegel paransi Thuen tulosta osoittamalla, että viimeinen epätasa-arvo pätee

\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s \oikea)

, missä on kokonaisluku,

s

erityisesti klo . Myöhemmin F. Dyson osoitti tämän epätasa-arvon pätevyyden . Lopuksi K. Roth totesi, että epäyhtälö (*) pätee mille tahansa . K. Rothin tulos on paras laatuaan, koska millä tahansa irrationaalisella luvulla , olipa se algebrallinen tai ei, on äärettömän monta rationaalista approksimaatiota , jotka tyydyttävät epäyhtälön $\nu >2{\sqrt {n}}$ $\nu >{\sqrt {2n))$ $\nu >2$ $\xi$ $p/q$

{\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Kaikilla edellä mainituilla Liouvillen lauseen vahvistuksilla on yksi merkittävä haittapuoli - ne ovat tehottomia, nimittäin: niiden todistusmenetelmillä ei voida määrittää, kuinka epäyhtälössä oleva vakio riippuu suureista ja . $C=C(\alpha ,\;\nu )$ $\alpha$ $\nu$

Katso myös

Liouvillen numero

Linkit

Michael Filaseta. Transsendenttisten lukujen alku