Nash-Moser lause

Nash-Moser -lause on yksi käänteisfunktion lauseen yleistyksistä . John Forbes Nash käytti tämän lauseen muunnelmaa todistaessaan säännöllisen upotuslauseen . Hänen paperistaan käy ilmi, että hänen menetelmänsä voidaan yleistää. Juergen Moser osoitti, että Nash-menetelmää voidaan soveltaa jaksollisten rataongelmien ratkaisemiseen taivaanmekaniikan Kolmogorov - Arnold-Moser teoriassa . Tähän mennessä sanamuodosta on olemassa useita versioita, jotka ovat Gromovin , Hamiltonin , Hermanderin , Moserin, Saint-Raymondin, Schwartzin ja Sergerartin omistamia.

Yksi lauseen todisteista perustuu Newtonin prosessin muunnetun version käyttöön yhtälön ratkaisun löytämiseksi. Muut lähestymistavat, erityisesti Nashin ja Hamiltonin, noudattavat tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisua funktioavaruudessa.

Todistuksen idea

Tämä osio on tarkoitettu vain kuvaamaan ideaa ja siksi se on tarkoituksella epätarkka.

Oletetaan, että se on ensimmäisen asteen differentiaalioperaattori , joka on määritelty tasaisille funktioille vektoriavaruuksien välillä , jotta se määrittelee kuvauksen jokaiselle . Oletetaan, että jollekin funktiolle linearisoinnissa on oikea käänteisoperaattori mille tahansa funktiolle, joka on riittävän lähellä . $P$ ${\displaystyle P\colon C^{k+1}\to C^{k))$ $k$ $f_{0}\in C^{k+1}$ ${\displaystyle D_{f}P\colon C^{k+1}\to C^{k))$ ${\displaystyle S_{f}\colon C^{k}\to C^{k))$ $f$ $f_0$

Huomaa, että koostumus ja menettää yhden johdannaisen . Tästä voidaan nähdä, että yritykset käyttää Newtonin menetelmää ratkaisun löytämiseen epäonnistuvat. Eli jos on iteratiivisesti määritetty funktiosarja $S_{f}\circ D_{f}P$ $P(f)=g_{\infty }$ ${\näyttötyyli (f_{n})}$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},

siitä seuraa että ja sitten . Samoista syistä , , ja niin edelleen. Äärillisen määrän vaiheita jälkeen iteroinnin on lopetettava, koska se menettää kaiken säännöllisyyden, eikä seuraavaa vaihetta edes määritetä. $f_{0}=f\in C^{k+1}$ ${\displaystyle g_{\infty }-P(f_{0})\in C^{k))$ $f_{1}\in C^{k}$ $f_{2}\in C^{k-1}$ $f_{3}\in C^{k-2}$

Tämän ongelman ratkaisemiseksi Nash käyttää tasoitusoperaattoria , joka tietylle funktiolle palauttaa sileän funktion, joka on lähellä alkuperäistä if . Sitten määritetään "tasoitettu" Newtonin iteraatio $\theta_n$ $f$ $\theta _{n}(f_{n})$ $n$

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\ iso )}.

Tämä muokattu prosessi ei kohtaa samoja vaikeuksia kuin edellinen "tasaamaton" versio, koska se on iteraatio tasaisten funktioiden avaruudessa, joka ei koskaan menetä säännöllisyyttä.

Oikein valituilla tasoitusoperaattoreilla tämä sekvenssi todellakin konvergoi ratkaisuun ; eli . ${\displaystyle f_{\infty ))$ $P(f_{\infty })=g_{\infty }$

Kirjallisuus

M. L. Gromov . Differentiaalioperaattoreiden tasoitus ja inversio // Matem. Lauantai - 1972. - T. 88 (130) , nro 3 (7) . — S. 382–441 . (Venäjän kieli)

Gromov M. Differentiaalirelaatiot osittaisten derivaattojen kanssa. - M .: Mir, 1990. - 536 s. - ISBN 5-03-001297-4 , 3-540-12177-3.

J. Nash . Riemannin jakoputkien upotusongelma // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , nro 4 (160) . - S. 173-216 .

Hamilton, Richard S. (1982), Nashin ja Moserin käänteisfunktiolause , Bull. amer. Matematiikka. soc. (NS) osa 7 (1): 65-222, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2 -1982-15004-2 >

Hörmander, Lars (1976), Fysikaalisen geodesian rajaongelmat, Arch. Rational Mech. Anaali. T. 62 (1): 1-52
- Hörmander, L. (1977), Korjaus: "Fysikaalisen geodesian rajaongelmat", Arch. Rational Mech. Anaali. T. 65 (44): 395

Moser, Jürgen (1966a), Nopeasti konvergentti iteraatiomenetelmä ja epälineaariset osittaiset differentiaaliyhtälöt. Minä , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) osa 20:265–315 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_2_265_0 >

Moser, Jürgen (1966b), Nopeasti konvergentti iteraatiomenetelmä ja epälineaariset osittaiset differentiaaliyhtälöt. II , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) osa 20: 499–535 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_3_499_0 >

Nash, John (1956), The imbedding problem for Riemannin monimutkainen , Annals of Mathematics osa 63 (1): 20-63 , DOI 10.2307/1969989 .

Saint-Raymond, Xavier (1989), Yksinkertainen Nash-Moserin implisiittinen funktiolause, Enseign. Matematiikka. (2) T. 35 (3-4): 217-226

Schwartz, J. (1960), Nashin implisiittisestä funktionaalisesta lauseesta, Comm. Puhdas Apple. Matematiikka. T. 13: 509-530

Sergeraert, Francis (1972), Un théorème de fonctions implicites sur tiettyjen espaces de Fréchet et quelques applications, Ann. sci. Ecole Norm. Sup. (4) Voi. 5: 599-660

Zehnder, E. , Yleistetyt implisiittiset funktiolauseet, joissa on sovelluksia joihinkin pieniin jakajaongelmiin. I Comm. Puhdas Apple. Matematiikka. T. 28: 91-140

Zehnder, E. , Yleistetyt implisiittiset funktiolauseet, joissa on sovelluksia joihinkin pieniin jakajaongelmiin. II, Comm. Puhdas Apple. Matematiikka. T. 29 (1): 49-111