Sochocki-Weierstrassin lause

Sochocki-Weierstrassin lause on monimutkainen analyysilause , joka kuvaa holomorfisen funktion käyttäytymistä olennaisen singulaaripisteen läheisyydessä.

Se sanoo, että mikä tahansa yksiarvoinen analyyttinen funktio oleellisesti yksittäisen pisteen jokaisessa naapurustossa ottaa arvot mielivaltaisesti lähellä mielivaltaista ennalta määrättyä kompleksilukua [1] .

Historia

Sen julkaisi Yu. V. Sokhotsky vuonna 1868 pro gradu -työssään [K 1] ; se osoitti, että "äärettömän järjestyksen navassa" (näin kutsuttiin oleellisesti singulaarista pistettä) funktion "pitäisi ottaa kaikki mahdolliset arvot" (tässä työssä funktion arvo tässä pisteessä ymmärrettiin raja-arvoksi pitkin siihen lähentyvien pisteiden sarjaa) [2] .

Samanaikaisesti Sokhotskin kanssa italialainen matemaatikko F. Casorati julkaisi teoreeman olennaisen singulaaripisteen puhkaistun alueen kuvan tiheydestä teoksessaan "Monimutkaisten muuttujien funktioiden teoria" [K 2] . Weierstrass julkaisi tämän lauseen vasta vuonna 1876 teoksessaan "Yksiarvoisten analyyttisten funktioiden teoriasta" [K 3] [3] . Ensimmäistä kertaa sen kohtaavat ranskalaiset matemaatikot Ch. Briot ja J.C. Bouquet työssään elliptisten funktioiden teoriasta [K 4] [1] .

Missään Sokhotski ei puolustanut etusijaansa tämän ja muiden muiden tulosten suhteen [2] ; eurooppalaisten kielten kirjallisuudessa lause tunnetaan Casorati–Weierstrassin lauseena .

Sanamuoto

Joka tapauksessa funktion oleellisen singulaaripisteen missä tahansa naapurustossa on ainakin yksi piste , jossa funktion arvo poikkeaa mielivaltaisesti annetusta kompleksiluvusta B vähemmän kuin . $\varepsilon > 0$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{1}$ $f(z)$ $\varepsilon$

Todiste

Oletetaan, että lause on väärä, ts.

\exists B\in \mathbb {C} \qquad \exists \varepsilon >0\qquad \exists \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\ eta_{0}

|f(z)-B|>\varepsilon

Tarkastellaan aputoimintoa . Oletuksemme mukaan funktio on määritelty ja rajoitettu pisteen naapurustossa . Tästä syystä on irrotettava yksikköpiste [4] . Tämä tarkoittaa, että funktion laajennus pisteen läheisyydessä on muotoa: $\psi (z)={\frac {1}{f(z)-B))$ $\psi (z)$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $\psi (z)$ $\psi (z)$ $z_{0}$

\psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }} (z)\neq 0

Sitten funktion määritelmän perusteella pisteen annetussa ympäristössä tapahtuu seuraava funktion laajennus : $\psi (z)$ $z_{0}$ $f(z)$

f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi (z)+B

jossa analyyttinen funktio rajoittuu pisteen -naapuriin . Mutta tällainen laajennus tarkoittaa, että piste on funktion napa tai säännöllinen piste , ja jälkimmäisen laajennuksen Laurentin sarjassa täytyy sisältää äärellinen määrä termejä, mikä on ristiriidassa lauseen ehdon kanssa. $\varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)))$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $f(z)$

■

Vastaavasti tämä lause voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti:

Jos piste on oleellisesti yksikkö funktiolle , joka on analyyttinen jossain pisteytetyssä naapurustossa , niin mielivaltaiselle kompleksiluvulle voidaan löytää sekvenssi , joka suppenee johonkin . $z_{0}$ $f(z)$ ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \))$ $w$ $\{z_{n}\}\subset U$ $z_{0}$ $\{f(z_{n})\}\to w$
holomorfisen funktion arvojoukko sen oleellisen singulaaripisteen mielivaltaisen pienessä lävistetyssä naapurustossa on kaikkialla tiheä . $\mathbb {C}$

Yleistykset

Sochockin lause on yleistetty Picardin suurella lauseella , jonka mukaan analyyttinen funktio oleellisesti singulaarisen pisteen läheisyydessä ottaa kaikki arvot paitsi ehkä yhden arvon.

Kommentit

↑ Integraalitähteiden teoria joissakin sovelluksissa. - Pietari. , 1868.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. - Pavia, 1868.
↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, B. - P. 77-124.
↑ C. Briot, I. Bouquet. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. – 1859.

Linkit

↑ 1 2 Sokhotsky-Weierstrassin lause // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ 1 2 B. V. Shabat. Holomorfisten kartoitusten arvojen jakautuminen . - M. : Nauka, Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1982. Arkistoitu 5. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 15. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 5. maaliskuuta 2016. (määrätön) .
↑ I. M. Vinogradov. Sokhotsky-lause // Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985. .
↑ Tämä tosiasia todistetaan käyttämällä Laurent-sarjan funktion laajenemisen pääarviota.

Kirjallisuus

Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. — M .: Nauka . - 1968, 448 sivua.
Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka . - 1969, 577 sivua.