Harrastus-Riisi-lause

Hobby-Rice-teoreema ilmestyi ensimmäisen kerran ja se todistettiin vuonna 1965 [1] , kun pohdittiin kysymyksiä funktioiden optimaalisesta approksimaatiosta Labesgue-avaruudessa . Yksinkertaisemman todistuksen lauseesta antoi Pinkus [2] vuonna 1976. Käytetään myös reilun jaon ongelmissa . $L_{1}$

Lause (sovitettu versio)

Jaetaan segmentti [0,1] numerosarjalla osaväleihin : ${\displaystyle \{z_{i}\))$ $k+1$

0=z_{0}<z_{1}<\dotsb <z_{k}<z_{k+1}=1

Määrittelemme allekirjoitetun osion osioksi, jossa jokaiselle osavälille on liitetty etumerkki : $i$ $\delta _{i}$

{\displaystyle \delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\))

Hobby-Rice -lause sanoo, että mille tahansa k jatkuvasti integroitavalle funktiolle:

g_{1},\dotsc ,g_{k}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}

segmentillä [0,1] on allekirjoitettu osio siten, että:

\sum _{i=1}^{k+1}\delta _{i}\!\int _{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z) \,dz=0{\text{ sanalle }}1\leqslant j\leqslant k.

(toisin sanoen jokaiselle k funktiolle sen integraali positiivisten osavälien yli on yhtä suuri kuin sen negatiivisten osavälien integraali).

Lause alkuperäisessä asetuksessaan

Olkoon Labesgue-avaruudessa todellisia funktioita , joissa on äärellinen atomiton mitta . Sitten on olemassa , , sellaisia $n$ ${\displaystyle \left\{\varphi (x)\right\}_{i=1}^{n))$ $L_{1}([0,1],\mu )$ $\mu$ $[0,1]$ ${\displaystyle \{z_{i}\}_{i=1}^{r))$ $r\leq n$ $0=z_{0}<z_{1}<\ldots <z_{r}<z_{r+1}=1$

\sum _{j=1}^{r+1}(-1)^{j}\int _{z_{j-1}}^{z_{j}}\varphi _{i}( x)d\mu (x)=0\qquad i=1,\ldots ,n

Yleistetty Hobby-Rice-lause

N. Alon vuonna 1987 ratkaistessaan kaulakorun leikkausongelmaa [3] hän muotoili ja todisti yleistetyn Hobby-Rice-lauseen.

Olkoon jatkuvat todennäköisyysmitat yksikkövälillä . Sitten on mahdollista leikata yksikköväliä paikoin ja muodostaa syntyneistä kappaleista perheitä siten, että kaikille . $t$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t))$ ${\näyttötyyli (k-1)\cdot t}$ $(k-1)\cdot t+1$ $k$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{k))$ ${\displaystyle \mu _{i}(\cup F_{j})={1 \over k))$ $1\leq i\leq t,\ 1\leq j\leq k$

Tässä tapauksessa saamme Hobby-Rice-lauseen. $k = 2$

Käytä reilun jaon ongelmissa

Olkoon segmentti [0,1] kakku . Jäseniä on k ja jokainen k ominaisuus on yhden jäsenen arvojen tiheysfunktio. Meidän on jaettava kakku kahteen osaan, jotta kaikki osallistujat ovat yhtä mieltä siitä, että osat ovat samankokoisia. Tätä reilun jaon ongelmaa kutsutaan joskus sovituspuolittamisongelmaksi [4] . Hobby-Rice-lauseesta seuraa, että tämä voidaan tehdä k - leikkauksella.

Muistiinpanot

↑ Harrastus, Riisi, 1965 , s. 665–670.
↑ Pinkus, 1976 , s. 82–84.
↑ Yksin, 1987 , s. 247-253.
↑ Simmons, Su, 2003 , s. 15-25.

Kirjallisuus

Hobby CR, Rice JR Hetkiongelma L 1 -approksimaatiossa // Proceedings of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1965. - Voi. 16 , iss. 4 . - doi : 10.2307/2033900 . — .
Allan Pinkus. Yksinkertainen todiste Hobby-Rice-lauseesta // Proceedings of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1976. - V. 60 , no. 1 . - doi : 10.2307/2041117 . — .
Noga Alon. Kaulakorujen halkaisu // Matematiikan edistysaskel. - 1987. - Voi. 63 , iss. 3 . - doi : 10.1016/0001-8708(87)90055-7 .
Simmons FW, Su FE Konsensuksen puolittaminen Borsuk-Ulamin ja Tuckerin lauseiden kautta // Mathematical Social Sciences . - 2003. - Voi. 45 . - doi : 10.1016/S0165-4896(02)00087-2 . Arkistoitu alkuperäisestä 10. elokuuta 2017.