Darboux'n ominaisuuslause jatkuvalle funktiolle

Teoreema Darboux-ominaisuudesta (D-ominaisuus) jatkuvalle funktiolle matemaattisessa analyysissä sanoo, että segmentin jatkuva kuva on segmentti.

Sanamuoto

Olkoon jatkuva reaaliarvoinen funktio välillä . Sitten on olemassa sellaisia , että $f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f\in C^{0}{\bigl (}[a,b]{\bigr )} .$ $c,d\in {\mathbb {R}}$

f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=[c,d].

Muistiinpanot

Jos funktio on vakio, niin $f$ $c=d.$
Darboux'n ominaisuuslause sanoo, että jatkuva kartta kartoittaa minkä tahansa segmentin segmentiksi. Tätä funktion ominaisuutta kutsutaan Darboux-ominaisuudeksi. Käänteinen väite ei yleensä pidä paikkaansa. Tarkastellaan esimerkiksi kaavan antamaa funktiota $f:[0,1]\to \mathbb{R} ,$ $f(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin \left({\frac {\pi }{2x}}\right),&x\in (0,1]\\0,&x=0 \end{matrix}}\right..$

Tällöin funktiolla on Darboux-ominaisuus, mutta se on epäjatkuva pisteessä

f

x=0.

Sierpinskin lause . Mikä tahansa funktio voidaan esittää kahden funktion summana Darboux-ominaisuuden kanssa.

Darboux-ominaisuus monotoneille funktioille

Anna funktion monotonisesti kasvaa tai pienentyä koko intervallin ajan. Silloin sillä on Darboux-ominaisuus jos ja vain jos se on jatkuva. $f:[a,b]\to \mathbb{R}$

Yleistys

Darboux-ominaisuus ei päde vain jatkuville funktioille, vaan myös kaikille funktioille, jotka ovat johdannaisia toisesta funktiosta. Jälkimmäiset sisältävät jatkuvia toimintoja. Olkoon - differentioituva määritelmäalueen sisällä , eli ja myös differentioituva oikealla pisteessä : ja vasemmalla pisteessä : Sitten on jana, suljettu säde tai koko suora (eli suljettu ja yhdistetty ). $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ $F\in {\mathcal {D}}{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ $F'(x)=f(x),\;x\in(a,b),$ $a$ $F'_{+}(a)=f_{+}(a)$ $b$ $F'_{-}(b)=f_{-}(b).$ $f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}$

Darboux'n ominaisuuslause jatkuvalle funktiolle

Sanamuoto

Muistiinpanot

Darboux-ominaisuus monotoneille funktioille

Yleistys

Katso myös