Tiheyspistelause

Tiheyspisteteoreema on mittateorian tulos , joka voidaan intuitiivisesti ymmärtää tarkoittavan, että mitattavan joukon "rajapisteiden" joukolla on mitta nolla.

Sanamuoto

Merkitään Lebesguen mittalla euklidisessa avaruudessa . Olkoon mitattavissa oleva joukko. Jos haluat mielivaltaisen pisteen ja harkitse arvoa $\lambda$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))))

jossa tarkoittaa palloa, jonka keskusta on ja säde . Arvo voidaan tulkita joukon likimääräiseksi tiheydeksi pisteessä . $B_{\varepsilon }(x)$ $x$ $\varepsilon$ $d_{\varepsilon }(x)$ $A$ $x$

Sitten

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

on olemassa ja on yhtä suuri kuin 1 lähes jokaiselle pisteelle . $x\in A$

Muistiinpanot

Arvoa , jos se on määritelty, kutsutaan joukon tiheydeksi pisteessä . ${\näyttötyyli d(x)}$ $A$ $x$
Toisin sanoen lause sanoo, että minkä tahansa mitattavissa olevan joukon tiheys saa arvon 0 tai 1 lähes kaikkialla alueella . $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Jos joukolla ja sen komplementilla on positiivinen mitta, tulee aina pisteitä, joiden tiheys ei ole 0 eikä 1.

Esimerkkejä

Esimerkiksi, jos tasossa on neliö, tiheys jokaisessa pisteessä neliön sisällä on 1, sivuilla 1/2, kärjeissä 1/4 ja 0 neliön ulkopuolella; reunojen ja kärkien mitta on nolla.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Tiheyspistelause on Lebesguen differentiaatiolauseen erikoistapaus .

Kirjallisuus

Natanson IP Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - M. , 1974.