Kelvinin lauseet

Hydrodynamiikan Kelvin-lauseen alla ne tarkoittavat yleensä Kelvinin päälausetta , mutta tunnetaan myös kaksi muuta Thomsonin (Kelvinin) teoreemaa.

Kelvinin irrotaatioliikelause

Vuonna 1849 William Thomson todisti nesteen kineettisen energian vähimmäislauseen:

jos jonkin yksinkertaisesti yhdistetyn alueen rajalla pyörteen liike osuu yhteen irrotaatioliikkeen kanssa , niin irrotaatioliikkeen kineettinen energia tarkasteltavalla alueella on pienempi kuin pyörteen liikkeen kineettinen energia.

Todiste Kelvinin ensimmäisestä lauseesta

Kelvinin lause voidaan todistaa sillä perusteella, että irrotaatioliikkeen nopeus on potentiaalinen ( v = gradφ) ja että kokoonpuristumattoman nesteen nopeuden divergentti on nolla sekä irrotaatio- että pyörreliikkeessä. Todellakin, anna Δ Jotain = Jotain pyörtyä. - Jotain ilman pyörretuulta. . Sitten voimme kirjoittaa kineettisten energioiden erolle:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2 }-V^{2}]d\tau =\rho \iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2)) \iiiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

missä ρ on nesteen tiheys ja τ on nesteen tilavuus . Tarkastellaan edelleen vain ensimmäistä integraalia oikealla:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operaattorinimi {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau ,

ja koska div(φ a ) = φ div a + gradφ a , integraali voidaan muuntaa seuraavasti:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operaattorinimi {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operaattorinimi {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\ varphi \operaattorinimi {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operaattorinimi {div} \mathbf {V} )d\tau ,

missä σ on tilavuutta τ rajoittava pinta ja indeksi n tarkoittaa vektorin normaalikomponenttia. Lauseen ehdoista seuraa, että pinnalla σ pyörre- ja irrotaatioliikkeet osuvat yhteen, eli ΔV = 0, lisäksi kokoonpuristumattomuusehdon div V = 0. Näin ollen viimeisessä yhtälössä kaikki termit ovat nolla ja kineettisten energioiden erolle käy ilmi:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

josta Kelvinin lause seuraa.

Kelvinin kinemaattinen lause

Kelvinin kinemaattinen lause mahdollistaa pyörreputken käyttäytymisen ennustamisen ajassa puhtaasti kinemaattisesta näkökulmasta. Lauseen muotoilu on seuraava:

suljettua nestekiertoa pitkin kulkevan nopeuskierron osaaikaderivaata on yhtä suuri kuin kiihtyvyyskierto samaa piiriä pitkin.

Todiste Kelvinin toisesta lauseesta

Lasketaan nopeuskierron osaaikainen derivaatta mielivaltaista ääriviivaa C pitkin ilman, että oletetaan ensin, että se on suljettu.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d} {dt))(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} + \int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt))(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf { V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt }}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \ vasen({\frac {V^{2}}{2}}\oikea).\end{aligned}}

Ilmeisesti, kun piiri suljetaan, viimeinen integraali katoaa. Tällä tavalla:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\piste {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\piste { V}} ).

Kelvinin barotrooppisen nesteen lause

Kelvinin barotrooppisen nesteen teoreemaa kutsutaan myös Kelvinin peruslauseeksi , joka vahvistaa irrotaatioliikkeen olemassaolon mahdollisuuden:

kun barotrooppinen ihanteellinen neste liikkuu potentiaalivoimien vaikutuksesta, kiertonopeus suljetussa nestekierrossa ei muutu.

Todiste Kelvinin kolmannesta lauseesta

Lause on helppo todistaa edellisen lauseen perusteella korvaamalla lausekkeen oikealle puolelle kiihtyvyys potentiaalisten voimien tapauksessa : $\mathbf {\piste {V}}=-\operaattorinimi {grad} \Pi$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\piste {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operaattorin nimi {grad } \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

siksi on vakio. $\Gamma$

Lauseen muotoili ja todisti W. Thomson vuonna 1869 . Kelvinin lauseen differentiaalimuoto on pyörreyhtälö .

Kirjallisuus

Loytsyansky L.G. Nesteen ja kaasun mekaniikka. - 7. painos, Rev. - M . : Bustard, 2003. - 840 s. - (Venäjän tieteen klassikot). — ISBN 5-7107-6327-6 .
Sychev V. V., Bashkin V. A. Ch. I // Luennot teoreettisesta hydrodynamiikasta. - M .: MIPT, 2003. - 188 s. — ISBN 5-7417-0222-8 .